Солитоны

[IAmI]

Что можно сказать о механизмах возникновения солитонов - устойчивых нелинейных волн в каких-либо средах? Я читал, что существует несколько уравнений, их описывающих, и несколько типов солитонов.
В случае волнового пакета, описываемого комбинацией нескольких плоских волн, он быстро распадается из-за дисперсии, вызванной различием скоростей отдельных волн, составляющих пакет. А что компенсирует дисперсию в случае солитонов? "Обмен энергией" между волнами? А какая связь между ним и нелинейностью волн?

[Munin]

Аxмедиев Н.Н., Анкевич А. Солитоны (ФМЛ, 2003)
Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи (1987)
Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский. Теория солитонов - метод обратной задачи (Наука, 1980)

Буллаф Р., Кодри Ф. (ред.) Солитоны (Мир, 1983)
Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов (Мир, 1983)
Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и xаос (2е изд., ФМЛ, 2006)

где-то так...

IAmI в сообщении #225834 писал(а):

В случае волнового пакета, описываемого комбинацией нескольких плоских волн, он быстро распадается из-за дисперсии

Ну, это в случае, если есть дисперсия. У электромагнитных волн в вакууме её нет, у звука в твёрдом теле тоже (кроме крайне высоких частот или амплитуд), да и во многих других случаях ею можно пренебречь.

IAmI в сообщении #225834 писал(а):

А что компенсирует дисперсию в случае солитонов? "Обмен энергией" между волнами? А какая связь между ним и нелинейностью волн?

Прямая. На языке спектра нелинейность уравнения как раз и означает, что каждая спектральная составляющая не распространяется независимо, а эволюционирует, передавая энергию в другие составляющие.

Разложение по гармоническим составляющим - это преобразование Фурье. Пусть у нас волновое уравнение - линейное дифференциальное. Тогда оно состоит из знаков $+,\,\,-$ и операций дифференцирования, а они превращаются преобразованием Фурье в алгебраические операции:
$\alpha f(x)\mapsto\alpha\tilde{f}(k)$,
$f(x)+g(x)\mapsto\tilde{f}(k)+\tilde{g}(k)$,
$f'(x)\mapsto k\tilde{f}(k)$,
$f''(x)\mapsto k^2\tilde{f}(k)$.
Но стоит появиться в уравнении какому-нибудь нелинейному слагаемому, как всё становится резко хуже. Например, пусть у нас встретилось $f^2(x)=f(x)f(x)$. Умножение превращается преобразованием Фурье в свёртку:
$f(x)g(x)\mapsto\tilde{f}(k)*\tilde{g}(k)$,
то есть в нелокальную интегральную операцию. Значение свёртки в точке $k$ зависит не только от искомой функции в точке $k$, но и от значений в других точках, вообще говоря, на всём протяжении $(-\infty,+\infty)$. Для решения таких уравнений применяют резко более сложную математику, отказываясь от разложения в независимые составляющие, и используя составляющие, зависимые друг от друга.

[IAmI]

Спасибо. И за литературу...

Munin в сообщении #225852 писал(а):

Ну, это в случае, если есть дисперсия. У электромагнитных волн в вакууме её нет, у звука в твёрдом теле тоже (кроме крайне высоких частот или амплитуд), да и во многих других случаях ею можно пренебречь.

Ну, а если мы, например, описываем квантовую частицу? Время расплывания волнового пакета электрона - порядка $10^{-26}$ или $10^{-27}$ секунд.

Мне, кстати, только что пришло в голову : можно ли охарактеризовать устойчивость волнового образования ("солитоноподобность" ) соотношением между средней разностью скоростей двух составляющих его "элементарных" волн (чем больше скорость разбегания, тем меньше устойчивость) и (с другой стороны) средней разностью энергии "элементарной" волны и всего волнового образования в целом (т.е. чем больше усредняется энергия в результате появления цуга волн (меньший градиент), тем он устойчивее)? Правда, тут вопрос о том, что считать элементарной волной. Скажем, если для волнового пакета это плоские волны, то для солитона - волновые пакеты? Или я несу бред?

[Munin]

IAmI в сообщении #225859 писал(а):

И за литературу...

Суньтесь в неё носом незамедлительно :-) Может, я тут вам лапшу на уши вешаю. Хотя до солитонов разговор пока не дошёл, предупреждаю, что я в них пока не разобрался, только вот учебники собрал...

IAmI в сообщении #225859 писал(а):

Ну, а если мы, например, описываем квантовую частицу? Время расплывания волнового пакета электрона - порядка $10^{-26}$ или $10^{-27}$ секунд.

Вопрос не о том, квантовую частицу или не квантовую частицу. Вопрос о том, каков закон дисперсии. Квантовые частицы описываются волновыми уравнениями того же общего типа, что и другие волны. И в этих уравнениях закон дисперсии заложен, и его можно вытащить явно, перейдя к характеристическому уравнению (по сути, это и делается при решении уравнения методом преобразования Фурье). Например, в электромагнетизме волновое уравнение - уравнение Д'Аламбера:
$\displaystyle\nabla^2A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A=0\quad\quad\to\quad\quad\mathbf{k}^2-\frac{1}{c^2}\omega^2=0,$
а в нерелятивистской квантовой механике - уравнение Шрёдингера:
$\displaystyle\nabla^2\Psi+\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial}{\partial t}\Psi=0\quad\quad\to\quad\quad\mathbf{k}^2-\frac{2m}{\hbar}\omega=0$
(просто подставляете плоскую волну $\exp(i(\mathbf{kx}-\omega t)),$ и дифференцируете). Если в этих уравнениях выразить $\omega(\mathbf{k}),$ то это и будет закон дисперсии (иногда называется дисперсионным соотношением, а иногда так называется кое-что другое): $\omega=c\lvert\mathbf{k}\rvert$ или $\omega=\hbar\mathbf{k}^2/2m.$ Как видите, в первом случае он линейный, а во втором нет (и сильно нелинейный), и именно из-за этого электромагнитный пакет в вакууме не расплывается, а нерелятивистский электрон расплывается (хотя мне кажется, вы назвали преувеличенную скорость). Кстати, релятивистский электрон движется не по уравнению Шрёдингера, а по уравнению Дирака, с релятивистским законом дисперсии $\omega^2=\mathbf{k}^2+m^2,$ и расплывается меньше.

IAmI в сообщении #225859 писал(а):

Мне, кстати, только что пришло в голову :idea: : можно ли охарактеризовать устойчивость волнового образования ("солитоноподобность" :D ) соотношением между средней разностью скоростей двух составляющих его "элементарных" волн (чем больше скорость разбегания, тем меньше устойчивость) и (с другой стороны) средней разностью энергии "элементарной" волны и всего волнового образования в целом (т.е. чем больше усредняется энергия в результате появления цуга волн (меньший градиент), тем он устойчивее)?

Я этой идеи не понял, разъясните поподробнее.

IAmI в сообщении #225859 писал(а):

Правда, тут вопрос о том, что считать элементарной волной. Скажем, если для волнового пакета это плоские волны, то для солитона - волновые пакеты?

Как раз сами по себе солитоны и являются элементарными волнами (составляющими базиса решений) для решений нелинейных уравнений. А полное решение складывается (нелинейно!) из множества солитонов, например, набегающих из асимптотической бесконечности друг на друга, сталкивающихся, и разбегающихся обратно. По крайней мере, насколько я понял.

[ewert]

Munin в сообщении #225879 писал(а):

$\omega=c\lvert\mathbf{k}\rvert$ или $\omega=\hbar\mathbf{k}^2/2m.$ Как видите, в первом случае он линейный, а во втором нет (и сильно нелинейный), и именно из-за этого электромагнитный пакет в вакууме не расплывается, а нерелятивистский электрон расплывается

Вообще-то зависимость $\omega=c\lvert\mathbf{k}\rvert$ -- тоже нелинейна (если, конечно, задача не одномерная). Поэтому "электромагнитный пакет" тоже расплывается (собственно, это и есть дифракция света).

[IAmI]

Я понимаю, что дисперсия вроде характеризуется второй производной циклической частоты $\omega (k)$ по волновому числу $k$ - $\omega^{(2)}(k)$. Вот у А.А.Соколова и И.М.Тернова в книжке указана такая нерелятивистская формула для примерной оценки времени расплывания волнового пакета:
$t~{\approx}~{{2 \pi} \over {(\Delta k)^2}}{1 \over {\omega ^{(2)} (k)}}$
В случае волнового пакета из дебройлевских волн
$t~{\approx}~{m_0}{\cdot}{(\Delta x)^2}/h$
где $\Delta k$ - неопределенность волнового числа, $\Delta x$ - неопределенность координаты (область локализации). Откуда и получаются цифры, которые я назвал.

[quote]
Я этой идеи не понял, разъясните поподробнее.[\quote]
Ну, в смысле что раз солитоны - особенные нелинейные волны, чья "необыкновенность" заключается в том, что они не расплываются в течение времени, то, может быть, они представимы как линейные комбинации "обыкновенных" нелинейных волн, т.е. волновых пакетов. Точно также, как волновые пакеты представимы в виде суммы обычных плоских волн:
$\psi = \int\limits^{k_0 +\Delta k /2}_{k_0 - \Delta k /2} a(k) \exp ({-i(\omega t - k x)}) dk$
где $\psi$ - волновая функция волнового пакета, $a(k)$ - амплитуда (у нее размерность длины), которую можно приближенно считать постоянной.

Простите, отбываю. Не знаю, на какое время. Но вернусь

[Munin]

ewert в сообщении #225884 писал(а):

Вообще-то зависимость $\omega=c\lvert\mathbf{k}\rvert$ -- тоже нелинейна (если, конечно, задача не одномерная). Поэтому "электромагнитный пакет" тоже расплывается (собственно, это и есть дифракция света).

Да, но "расплывается" не по всем направлениям, а только поперёк. Уточняйте, чтобы не запутать слушателя. Так что если пакет состоит из плоских волн строго в одном направлении, то он есть бесконечный лист света, и движется, не расплываясь. А начинает он расплываться, если взять более реалистический случай ограниченного в поперечном направлении импульса света - в оптике это расходимость луча. И если точечный приёмник будет измерять пакет только как функцию времени, он расплывания не заметит.

IAmI в сообщении #225887 писал(а):

В случае волнового пакета из дебройлевских волн
$t~{\approx}~{m_0}{\cdot}{(\Delta x)^2}/h$
где $\Delta k$ - неопределенность волнового числа, $\Delta x$ - неопределенность координаты (область локализации). Откуда и получаются цифры, которые я назвал.

Да, но какую $\Delta x$ вы туда подставили? Когда электроны исследуют макроскопическими приборами, их координата известна весьма неточно.

IAmI в сообщении #225887 писал(а):

Ну, в смысле что раз солитоны - особенные нелинейные волны, чья "необыкновенность" заключается в том, что они не расплываются в течение времени, то, может быть, они представимы как линейные комбинации "обыкновенных" нелинейных волн, т.е. волновых пакетов.

Нет. Точно не представимы. Вот, например, что написано у Ахмедиева, Анкевича, § 2.6:

Цитата:


<...> Вывод: солитонам и линейным волнам отвечают разные области в частотном пространстве (как показано на рис. 2.1), и они не могут взаимодействовать следовательно, энергия локализованных состояний (солитонов) не может рассеиваться. Именно невозможность взаимодействия с линейными волнами является необходимым условием существования солитонов как стационарных объектов. Вместе с тем, как мы увидим далее, некоторые виды возмущений солитонов приводят к излучению энергии, а значит к разрушению стационарного решения.
Эти простые аргументы справедливы для большинства солитоиов в бездис-сииативных средах. Одним из примеров может служить класс так называемых "щелевых солитонов", которые существуют в областях частотного пространства, запрещенных для линейных волн (Чен и Миллз, 1987; Де Стерке и Сайр, 1994).
Известно, что потенциалы вида "$\mathrm{sech}^2$" (квадрат секанса гиперболического) являются безотражательными для линейного уравнения Шредингера (Кэй и Мозес, 1956; Морс и Фешбах, 1953). Линейные волны проходят сквозь такие потенциальные ямы без отражения, приобретая только дополнительный сдвиг фазы. В нелинейной теории солитоны можно рассматривать в некотором смысле как $\mathrm{sech}^2$-потенциалы для линейных волн. Они не изменяют энергию линейных волн и обладают нужным соотношением ширины и амплитуды, которая обеспечивает свойство бсзотражатслыюсти. Но сквозь солитоны без изменения формы, приобретая лишь дополнительный фазовый сдвиг, проходят не только линейные волны, но и сами солитоны. Это позволяет сделать вывод, что солитоны являются нелинейными "модами" интегрируемых систем НУШ и др. Идея "нелинейных мод" в теории уравнения Кортвега-де Вриза (Забуски и Крускал, 1965) позволила развить метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) для этого уравнения (Гарднер и др., 1967).

Под линейными волнами тут подразумеваются, очевидно, и любые линейные комбинации этих волн, то есть и "обычные" волновые пакеты тоже.

НУШ (нелинейное уравнение Шрёдингера) и уравнение Кортевега - де Фриза (Korteweg–de Vries, поэтому в цитате "де Вриза") - два из трёх основных нелинейных уравнений, рассматриваемых в теории солитонов, третье - уравнение $\sin$-Гордона.

[IAmI]

Munin в сообщении #225895 писал(а):

Под линейными волнами тут подразумеваются, очевидно, и любые линейные комбинации этих волн, то есть и "обычные" волновые пакеты тоже.

Но ведь волновой пакет нелинеен. Вряд ли он тут подразумевается. Хотя все может быть.
Вот, по идее, при взаимодействии, например, двух одинаковых волновых пакетов получается образование с волновой функцией $\Psi = (\psi _1 + \psi_2 )/{\sqrt{2}}$, так что оно стабильнее исходных. А если таким образом поступить с несколькими волновыми пакетами, то при определенном их числе можно добиться появления настоящего солитона. Короче, нужно взять интеграл из моего предыдущего сообщения, а потом взять еще один:
$\Psi = a(k)^2 \int\limits^{k_0 +\Delta k /2}_{k_0 - \Delta k /2} {\left( \int\limits^{k_0 +\Delta k /2}_{k_0 - \Delta k /2} \exp ({-i(\omega t - k x)}) dk \right) }dk$
где амплитуда с размерностью длины $a(k)$ постоянна.

[Munin]

IAmI в сообщении #226500 писал(а):

Но ведь волновой пакет нелинеен.

В каком это смысле? Про функцию вообще не говорят, линейна она или нелинейна, это говорят про уравнение или преобразование. Когда волновой пакет есть корректное решение волнового уравнения, то суперпозиция таких пакетов (их линейная комбинация) тоже есть решение, то есть волновое уравнение линейно. При этом и сам волновой пакет есть суперпозиция бесконечных синусоидальных волн.

IAmI в сообщении #226500 писал(а):

Вот, по идее, при взаимодействии, например, двух одинаковых волновых пакетов получается образование с волновой функцией $\Psi = (\psi _1 + \psi_2 )/{\sqrt{2}}$, так что оно стабильнее исходных.

В каком смысле стабильнее? Без дисперсии все они абсолютно "стабильны", с дисперсией все одинаково разваливаются. Причём с одинаковой скоростью, никакого выигрыша здесь нет.

IAmI в сообщении #226500 писал(а):

А если таким образом поступить с несколькими волновыми пакетами, то при определенном их числе можно добиться появления настоящего солитона. :?:

Кажется, вы не понимаете. Солитоны не бывают в том же мире, в котором вы возитесь с бесконечными волнами и волновыми пакетами. Этот мир - это мир линейных волновых уравнений. Только если перейти в мир нелинейных волновых уравнений, у них появляются новые решения, которых не было среди прежних волновых пакетов - солитоны. Комбинируя решения, но не меняя уравнения, ничего такого вы не получите.

[ИгорЪ]

Не знаю полезно ли будет вопрошающему, ну если интерес не праздный, то могу сказать следующее.
Качественные рассуждения о взаимодействии дисперсии и нелинейности приводящие к солитонам мало понятны. Математика здесь очень красива и богата. Фаддеев Тахтаджян "Гамильтонов подход к теории солитонов."

1. Все упомянутые нелинейные уравнения имеют симметрию, приводящую к бесконечному набору законов сохранения. Причем это бесконечномерная симметрия (алгебры Каца-Муди, Вирасоро, W-алгебры). Этого хватает для интегрируемости, т.к. число степеней свободы тоже бесконечно.
2. В этой кухне возникли понятия r-матрицы и уравнения треугольников, которые стали важнейшими элементами теории интегрируемых систем.
3. Квантование этих структур приводит к квантовой R-матрице, уравнениям Янга-Бакстера, квантовым группам - весьма глубоким и используемым инструментам в теорфизике.

[druggist]

Есть еще книжечка из серии: библиотечка "Квант" вып. 48
А.Т. Филппов
"Многоликий солитон"
Для детей. Но неплохо. Также см у Б. Б. Кадомцева в "Коллективные явления в плазме"

[IAmI]

Munin в сообщении #226513 писал(а):

Кажется, вы не понимаете. Солитоны не бывают в том же мире, в котором вы возитесь с бесконечными волнами и волновыми пакетами. Этот мир - это мир линейных волновых уравнений. Только если перейти в мир нелинейных волновых уравнений, у них появляются новые решения, которых не было среди прежних волновых пакетов - солитоны. Комбинируя решения, но не меняя уравнения, ничего такого вы не получите.

А, все, понял. Прошу прощения. Ладно, меня часто посещают глюки.

[photon]

Ю.С.Кившарь, Г.П. Агравал Оптические солитоны. От световодов к фотонным кристаллам, 2005 (Yuri S. Kivshar, Govind P. Agrawal Optical solitons. From Fibers to Photonic Crystals, 2003).

[Nik_Svan]

IAmI в сообщении #227378 писал(а):

Munin в сообщении #226513 писал(а):

Кажется, вы не понимаете. Солитоны не бывают в том же мире, в котором вы возитесь с бесконечными волнами и волновыми пакетами. Этот мир - это мир линейных волновых уравнений. Только если перейти в мир нелинейных волновых уравнений, у них появляются новые решения, которых не было среди прежних волновых пакетов - солитоны. Комбинируя решения, но не меняя уравнения, ничего такого вы не получите.

А, все, понял. Прошу прощения. Ладно, меня часто посещают глюки.

ЭТО НЕ ГЛЮКИ, А НЕДОСТАТОК ЗНАНИЙ: советую для начала не только толстую, но и толковую книгу Додда Р., ... Солитоны и нелинейные волновые уравнения:
http://rapidshare.com/files/276837429/_ ... _.rar.html

[iig]

Что касается волновых пакетов в квантовой механике, то там все линейно и никаких солитонов не будет.
Самый интересный солитон - модель Борна-Инфельда, ничего реального она не описывает, но, по-моему, перспективный подход к структуре частиц.