2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Неравенство
Сообщение27.06.2009, 09:14 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Для положительных $a,$ $b$ и $c$ докажите, что
$$\frac{a^3+b^3+c^3}{ab+ac+bc}+\frac{4abc}{a^2+b^2+c^2}\geq\frac{7}{9}(a+b+c)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.06.2009, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
А подсказку можно? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение28.06.2009, 11:55 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
meduza в сообщении #225243 писал(а):
А подсказку можно? :roll:

Можно, конечно! Только имеются, видимо, несколько подходов...
В доказательстве, которое мне удалось найти, существенно используется, что $(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2\geq0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение29.06.2009, 02:27 


21/06/06
1721
Да, очень злое неравенство. Ничего, честно говоря в голову не приходит.
Хотя, наверно ведь можно использовать то, что оно симметрично по всем параметрам.
То есть без ограничения общности можно считать, что a не больше b, которое в, свою очередь не больше c. То есть полжить b=a*x и с=a*y, где x и y - оба больше единицы. Тогда хоть удастся свести к двум переменным. Попробую, может чего-нибудь получиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение29.06.2009, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
Sasha2 в сообщении #225391 писал(а):
Хотя, наверно ведь можно использовать то, что оно симметрично по всем параметрам.

Я попытался использовать методы, описанные в [1], но, к сожалению, получившееся неравенство стало еще страшнее:$$\dfrac{\sigma_1^3-3 \sigma_1 \sigma_2 + 3\sigma_3}{\sigma_2}+\dfrac{4 \sigma_3}{\sigma_1^2-2\sigma_2}\geqslant \dfrac{7}9 \sigma_1$$ где $\sigma_1=a+b+c$, $\sigma_2=ab+bc+ac$, $\sigma_3=abc$. Упростить его до легкорешаемого неравенства мне не удалось :(

[1] Болтянский В., Виленкин Н., Симметрия в алгебре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение29.06.2009, 15:54 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Напрямую решается, но некрасиво и довольно трудоемко. Для этого надо перейти к симметрическим многочленами $\sigma_j$, затем, в силу однородности, удобно сделать замену $x=\frac{\sigma_2}{\sigma_1 ^2}, y=\frac{\sigma_3}{\sigma_1 ^3}$, и тогда слева получится квадратичная форма (гиперболический параболоид), у которой в 1-й четверти будет область отрицательных значений. Но поскольку $a,b,c$ - действительные корни кубического уравнения, то на $x,y$ накладывается ограничение $D \leq 0$, которое надо предобразовать в ограничение на $x,y$ (не так давно пост был про универсальный метод решения симметрических неравенств, идея оттуда). Построив обе кривые на плоскости видно, что области, где $D \leq 0$ и где квадр форма принимает отрицательные значения, не пересекаются. Если еще границу учитывать - будет 1 точка пересечения, соотвествующая случаю $a=b=c$. (в принципе параболу Нейля там можно очень хорошо аппроксимировать 2-я отрезками прямых и доказать неравенство после этого алгебраически с помощью матанализа, но неохота, все равно идеи нету).

З.Ы. С другой стороны, неравенство так легче обобщить - найти семейство парабол, касающихся острия параболы Нейля, и их уравнение обратно преобразовать в симметрическое неравенство (хотя оно, наверное, тоже некрасивое получится).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение29.06.2009, 17:38 


21/06/06
1721
To Meduza

Вы знаете, я не знаком еще с этими симметрическими многочленами.
А посмотрите пожалуйста, вот что получится если сперва использовать в иссходном неравенстве
вот такое разложение:

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

P.S. За источник спасибо, уже скачал. Буду ознакамливаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.06.2009, 10:05 


21/06/06
1721
Вот не поленился и перемножил все, затем вычел из левой части правую и вот, что получилось

$9(a^5+b^5+c^5)+2(a^2b^3+a^3b^2+a^2c^3+a^3c^2+b^2c^3+b^3c^2)-7(a^4b+ab^4+a^4c+ac^4+b^4c+bc^4)+22(a^2bc^2+a^2b^2c+ab^2c^2)-21(a^3bc+ab^3c+abc^3)$

Возникает такой вопрос, если неравенство истинное, то означает ли это, что данное выражение может быть преобразовано к сумме произведений некоторых членов и их степеней на квадраты отдельных кусков, ну что-типа $a^3(a-b+c)^2$

И еще, возможно ли такое разложение так, чтобы коэффициенты были целыми?

-- Вт июн 30, 2009 15:54:26 --

Вот еще интересно, что если пытаться искать разложение в виде
$9(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$,
так вот если вычесть это из того, что приведено чуть выше, то неравенство (уже при равных числах нарушается).
Тоньше однако разнича чем $(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.06.2009, 15:08 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sasha2 в сообщении #225703 писал(а):
Вот не поленился и перемножил все, затем вычел из левой части правую и вот, что получилось

$9(a^5+b^5+c^5)+2(a^2b^3+a^3b^2+a^2c^3+a^3c^2+b^2c^3+b^3c^2)-7(a^4b+ab^4+a^4c+ac^4+b^4c+bc^4)+22(a^2bc^2+a^2b^2c+ab^2c^2)-21(a^3bc+ab^3c+abc^3)$

Возникает такой вопрос, если неравенство истинное, то означает ли это, что данное выражение может быть преобразовано к сумме произведений некоторых членов и их степеней на квадраты отдельных кусков, ну что-типа $a^3(a-b+c)^2$

Если известно что $$\sum_{cyc}(9a^5-7a^4b-7a^4c+2a^3b^2+2a^3c^2-21a^3bc+22a^2b^2c)\geq0,$$
то, конечно, можно! Например, так:
$$\left(\sqrt{\sum_{cyc}(9a^5-7a^4b-7a^4c+2a^3b^2+2a^3c^2-21a^3bc+22a^2b^2c)}\right)^2\geq0.$$
Ежели Вы имете в виду, всегда ли можно положительно определённый симметрический многочлен от нескольких переменных с целыми коэффициентами представить как сумму квадратов многочленов с действительными коэффициентами, то ответ - нет, не всегда.
Можно, правда, получить что-то такое:
$$\sum_{cyc}(9a^5-7a^4b-7a^4c+2a^3b^2+2a^3c^2-21a^3bc+22a^2b^2c)=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(a-b)^2S_c,$$
где $S_c=9a^3+4a^2b+4ab^2+9b^3-c^3-22abc.$
Буду рад, если это Вам поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.06.2009, 15:23 


21/06/06
1721
Нет я не утверждал, что в виде суммы квадратов, а виде суммы произведений кусков заведомо положительных.
Вообще я не очень понимаю, как такое доказывается, но вот попробовав выше я понял, что
1) Все такие симметрические многочлены достигают своих экстремальных значений (если таковые есть в симметричной же точке, ну что-то типа a=b=c).
2) Взяв какой-либо кусок, а многочленов-то вообщем то не очень много, ну вот как у меня выше $9(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$ надо сопоставить сумму произведений коэффициентов на число слагаемых при этих коэффициентах, как в группу положительных, так и в группе отрицательных слагаемых. Если отрицательных больше, значит забрали в положительный кусок больше, чем следует. Ну в смысле, не удасться провести оценку.
3) Ваше тождество, конечно, спасибо, но оно явно не поможет, в смысле одно оно само по себе не говорит, что этот кусок положительный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.06.2009, 16:11 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sasha2 в сообщении #225770 писал(а):
попробовав выше я понял, что
Все такие симметрические многочлены достигают своих экстремальных значений (если таковые есть в симметричной же точке, ну что-то типа a=b=c).

Это неверно! Многочлен $$\sum_{cyc}a(a-b)(a-c)(a-2b)(a-2c)$$
при неотрицательных $a,$ $b$ и $c$ достигает своего наименьшего значения в семи сериях точек и только одна из них, а именно $(t,t,t)$ является "симметричной", как Вы говорите.
Sasha2 в сообщении #225770 писал(а):
3) Ваше тождество, конечно, спасибо, но оно явно не поможет, в смысле одно оно само по себе не говорит, что этот кусок положительный.

По моему, неположительность "куска" не даёт основание браковать всё рассуждение.
Например, при доказательстве неотрицательности $\sum_{cyc}(a^3-a^2b-a^2c+abc)$ при неотрицательных $a,$ $b$ и $c$ его представление в виде $\sum_{cyc}(a-b)^2S_c$ очень даже помогает. Попробуйте!

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.06.2009, 16:35 


21/06/06
1721
Оно все рассуждение браковать не дает, но сам один кусок не позволяет сделать заключение, нужно его заведомо отрицательную часть скомбинировать с некоторыми частями из других кусков. Я это и имел в виду.
Ну Вы по сути дела уже и все решение высказали.
Я еще поробую по своему. А именно. Разница между частями неравенства - это многочлен пятой степени. Поэтому, особо там не наконструируешь из симметрических многочленов.

А вот еще такой вопрос. Вот, как Вы интересно конструируете такие неравенства.
Точнее, как конструируют, я догадываюсь берут наверно произвольную рациональную однородную дробь (заведомо неотрицательную в области неотрицательных значений) и подставляют туда какую-либо линейную комбинацию симметрических многочленов в качестве аргумента. ну и преобразуя потом, получают то что мы решаем.

А вот так на вскидку, если слегка поменять коэффициенты в Вашем задании (сокранив симметрию), но вопрос поставить по другому, а именно ОЦЕНИТЕ СНИЗУ левую часть выражением k*(a+b+c). То есть найти то k, при котором неравенство верно для всех положительных a, b и с или доказать что такого k не существует. Вот как в таком случае действовать?

Я еще вот попробую завтра, я уже с ним столько провозился, оно у меня уже в башке сидит.
Почему то, кажется, что эта разница между левой и правой частью должна быть равна (хотя, конечно, нужно проверить)

$m*(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)^2 + n*abc*( a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

Ну или около того

где m и n, еще нужно определить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение30.06.2009, 21:48 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sasha2 в сообщении #225792 писал(а):
Ну Вы по сути дела уже и все решение высказали.

Отнюдь. Мне как раз не удалось его доказать этим путём.
Sasha2 в сообщении #225792 писал(а):
А вот еще такой вопрос. Вот, как Вы интересно конструируете такие неравенства.

Наше неравенство получилось так.
Очевидно для положительных $a,$ $b$ и $c$ выполняются следующие неравенства:
$\frac{a^3+b^3+c^3}{ab+ac+bc}\geq\frac{a+b+c}{3}$ и $\frac{abc}{a^2+b^2+c^2}\leq\frac{a+b+c}{9}.$
Оказывается, для наибольшего $k,$ при котором неравенство $$\frac{a^3+b^3+c^3}{ab+ac+bc}+\frac{3kabc}{a^2+b^2+c^2}\geq\frac{1+k}{3}(a+b+c)$$
выполняется для всех положительных $a,$ $b$ и $c$ должно выполняться $$k\leq\min_{t>0}\frac{(3t+4)(t^2+2)}{(t+4)(2t+1)}=1.34...$$
При $k=\frac{4}{3}$ получаем наше неравенство. Остаётся его доказать, что и было сделано. Кстати, у этого неравенства есть очень простое доказательство, которое я сразу не увидел. meduza своим постом подсказал :D
То, что $1.34...$ удалось приблизить простым рациональным числом - это дело случая и удачи.
Попробуйте сами - и Вы быстро убедитесь, что получаются в основном громоздкие или хорошо известные неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение01.07.2009, 17:59 


21/06/06
1721
Вот весь день делил остаток на (a+b+c) и вот, что получилось
$(a+b+c)[9(a^4+b^4+c^4)-16(a^3b+ab^3+a^3c+ac^3+b^3c+bc^3)+18(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-80(abc^2+a^2bc+ab^2c)]+164(a^2b^2c+a^2bc^2+ab^2c^2)+91(a^3bc+abc^3+ab^3c)$

А дальше честно, говоря деление приводит к тем же степеням, которые уже были.
Можно до бесконечности делить. Значит такой способ не приводит к цели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение03.07.2009, 14:53 


21/06/06
1721
Вот получил методом полунаучного тыка еще вот такое неравенство
$3abc(a+b+c)\geq4(ab+bc+ac)^2-(a+b+c)^2(ab+bc+ac)$

Подставил его в исходное и опять ничего. Проверил для a=1, b=2 и c=3.
Уже нарушается.
Аркадий, может все таки покажете решение, а то уже не знаю прямо куда копать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group