Вычислить длину дуги кривой....

[invisible1]

Каким способом это решить можно?
Вычислить длину дуги кривой...
$y=-ln(cosx)$ и $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$

[meduza]

$\int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{1+(y'_x)^2} dx$

[invisible1]

Ммм, спасибо=) Тогда получается

$$\int\limits_0^{\pi/2}\frac{1}{cosx} dx$$

А как его считать? Помню, что он есть в расширенной таблице интегралов, но как честно сосчитать?=0

[meduza]

invisible1 в сообщении #225065 писал(а):

А как его считать? Помню, что он есть в расширенной таблице интегралов, но как честно сосчитать?=0

Попробуй универсальную тригонометрическую подстановку $\tg \frac{x}2=t$. Как выражаются $\cos x$ и $dx$ через $\tg\frac x 2$ можешь посмотреть в любом учебнике по матану или сам вывести.

[EtCetera]

А можно и по-проще:
$\int\frac{1}{\cos x}\,dx=\int\frac{\cos x\,dx}{\cos^2 x}=\int\frac{d\sin x}{\cos^2 x}=\int\frac{d\sin x}{1-\sin^2 x}=...$

[invisible1]

А, ясно, спасибо, вопрос исчерпан=)

[ewert]

invisible1 в сообщении #225065 писал(а):

А как его считать?

А зачем его считать, если он, как понятно ежу, равен бесконечности?... Что, кстати, ещё понятнее даже до выписывания любых интегралов.

[invisible1]

ewert в сообщении #225087 писал(а):

invisible1 в сообщении #225065 писал(а):

А как его считать?

А зачем его считать, если он, как понятно ежу, равен бесконечности?... Что, кстати, ещё понятнее даже до выписывания любых интегралов.

То есть по графику ясно сразу?

[ewert]

Конечно. А если мы всё-таки дотянулись до интеграла, то он откровенно и очевидно расходится на правом конце.

[invisible1]

То есть, если подынтегральное выражение равно бесконечности при подстановке одного из пределов, то интеграл расходится?

[ewert]

invisible1 в сообщении #225094 писал(а):

То есть, если подынтегральное выражение равно бесконечности при подстановке одного из пределов, то интеграл расходится?

Нет, этого недостаточно, требуется "квалифицированное" стремление к бесконечности. В данном случае: после замены $t={\pi\over2}-x$ будет

$${1\over\cos x}={1\over\sin t}\sim {1\over t}\quad(t\to0),$$

а уж такой интеграл-то точно расходится.

[invisible1]

ewert в сообщении #225095 писал(а):

invisible1 в сообщении #225094 писал(а):

То есть, если подынтегральное выражение равно бесконечности при подстановке одного из пределов, то интеграл расходится?

Нет, этого недостаточно, требуется "квалифицированное" стремление к бесконечности. В данном случае: после замены $t={\pi\over2}-x$ будет

$${1\over\cos x}={1\over\sin t}\sim {1\over t}\quad(t\to0),$$

а уж такой интеграл-то точно расходится.

о_0 Вам это было сразу очевидно?

[ewert]

invisible1 в сообщении #225096 писал(а):

о_0 Вам это было сразу очевидно?

Да, и Вы тоже обязаны это видеть сразу. Как только заметили, что знаменатель в некоторой точке обращается в ноль -- надо быстро и в уме прикинуть, с какой скоростью обращается. Это -- шаблонный приём и должен проходить на автомате.

[invisible1]

ммм, возьму на заметку=) Я это применял к рациональным функциям обычно=)