Необычный предел

[neznajko]

Помогите, пожалуйста, доказать вот такую равность:
$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\ldots\int_0^1f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})dx_1\ldots dx_n=f(\frac12).$
Здесь $f$ непрерывная на $[0;1].$

[ИСН]

Сильно завуалированный частный случай закона больших чисел.

[Полосин]

Вытекает из справедливости этого утверждения для $e^{ikx}$.

[neznajko]

ИСН
Вы не могли бы более подробно обьяснить это вуалирование?

[terminator-II]

neznajko
а ведь Вам уже решили задачу:

Полосин в сообщении #224988 писал(а):

Вытекает из справедливости этого утверждения для $e^{ikx}$.

[neznajko]

terminator-II
А как это понять?

[terminator-II]

приближайте функцию тригонометрическими многочленами

[neznajko]

Да, здорово! БОЛЬШОЕ СПАСИБО!!!

[ИСН]

Мне можно уже не объяснять, да? Ну, в общем, штука слева заменой переменных приводится к виду $\int\limits_{\cal R}\rho(x)f(x)dx$, где $\rho(x)$ - это такая неприятная, если искать в лоб, кусочно-полиномиальная функция... но зато она имеет родственников в теории вероятностей, откуда мы узнаём, что с ростом $n$ она собирается в такой дельтаобразный колокольчик около 1/2.

[--mS--]

ИСН в сообщении #225019 писал(а):

Мне можно уже не объяснять, да? Ну, в общем, штука слева заменой переменных приводится к виду $\int\limits_{\cal R}\rho(x)f(x)dx$, где $\rho(x)$ - это такая неприятная, если искать в лоб, кусочно-полиномиальная функция... но зато она имеет родственников в теории вероятностей, откуда мы узнаём, что с ростом $n$ она собирается в такой дельтаобразный колокольчик около 1/2.

Уж если поминать теорию вероятностей, то вот так: интеграл

$$\int_0^1\ldots\int_0^1 f\left(\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}\right)\,dx_1\ldots dx_n$$

по определению есть математическое ожидание $\mathsf E f\left(\frac{S_n}{n}\right)$, где $S_n$ есть сумма $n$ независимых и одинаково равномерно распределённых на отрезке $[0,\,1]$ случайных величин. В силу закона больших чисел $\frac{S_n}{n}$ сходится по вероятности, а следовательно, и слабо, к $\frac12$. Слабая сходимость означает сходимость математических ожиданий любых непрерывных и ограниченных (что в данном случае автоматически выполнено) функций от последовательности: $\mathsf E f\left(\frac{S_n}{n}\right)\to f\left(\frac{1}{2}\right)$.

[neznajko]

ИСН
Нет, ну почему же?) Наоборот интересно как вывести эту таинственную функцию $\rho(x).$
Дело в том, что мне нужно было использовать апарат математического анализа для доказательства этого равенства, что и продемонстрировал Полосин.
В это же время,--mS--
решыл задачу тем методом, который по мнению НЕКОТОРЫХ и был единственным способом решения этой задачи. По видимому способов решения пока что 3, хотя вполне вероятно, что их может быть на много больше... . ИСН
на сколько я поняла, решыл эту задачу через обобщенную $\delta$ функцию Дирака, что тоже представляет собой особый интерес.
Тем не менее, я благодарна всем за помощь БОЛЬШОЕ всем спасибо!