Почему так решается ... ИНТЕГРАЛ

[Dgeyms]

$\[ \int {\frac{{xdx}} {{\sqrt {x^2 + 1} }}} = \frac{1} {2}\int {\frac{{d(x^2 + 1)}} {{\sqrt {x^2 + 1} }}} = \sqrt {x^2 + 1} + C \]$

Объясните пожалуйста как получается такой ответ $ \[ \sqrt {x^2 + 1} + C \]$
, как раскладывается $\[ \frac{1} {2}\int {\frac{{d(x^2 + 1)}} {{\sqrt {x^2 + 1} }}} \]$ не могу понять.
Прошу сразу прощения может быть за наивный вопрос.
Если не трудно распишите ...
Спасибо за ранее!

[EtCetera]

Вам знакома формула $\int t^n\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C$? В случае $n=-\frac{1}{2}$ она превращается в $\int \frac{1}{\sqrt t}\,dt=2\sqrt{t}+C$. Сравните последнюю формулу со своими записями.

[ewert]

Начнём с того, что интеграл НЕ РЕШАЕТСЯ. Он СЧИТАЕТСЯ или БЕРЁТСЯ.

А продолжим знакомством со стандартными правилами замены переменных, с определением дифференциала и т.д.

[Geremy]

Если продифференцировать $d(x^{2}+1)$ то получим значение равное числителю подынтегрального выражения.
Делаем замену $y=x^{2}+1$
$\frac{1}{2}\int y^{-0.5}dy$
Получаем: $y^{0.5}$ => $\sqrt{x^{2}+1}$

[Dan B-Yallay]

Грызем правило дифференцирования сложной функции.

ЗЫ Действительно надоели просьбы о "решении интеграла". Решают примеры и задачки. А интегралы берутся или вычисляются.

[EtCetera]

ewert
По-видимому, это уже традиция. В математике все решается, в литературе любое произведение - рассказ, корабли плавают, картины рисуют...

[ewert]

EtCetera в сообщении #224620 писал(а):

, картины рисуют...

любопытно -- кого это они рисуют?...

(это так, к слову)

[EtCetera]

ewert
Не кого (родительный падеж), а кого (винительный падеж). "Картины рисуют художники" - фраза с точки зрения русского языка абсолютно правильная (правда, смысл хромает).

[ewert]

EtCetera в сообщении #224626 писал(а):

Не кого (родительный падеж), а кого (винительный падеж).

Я падежи уже очень давно и очень прочно сдал, и тем не менее: в обоих вариантах -- винительный. А в моём оффтопике имелся в виду именительный.

[EtCetera]

ewert

ewert в сообщении #224628 писал(а):

Я падежи уже очень давно и очень прочно сдал, и тем не менее: в обоих вариантах -- винительный.

Я, в общем-то, тоже. И, видимо, Вы правы. Ну да ладно, все равно "Картины рисуются..." выглядело бы еще более дико ("Перед кем это они рисуются?").
P.S. Бедный автор вопроса узнал о русском языке гораздо больше, чем об интегралах...

[ewert]

Да, кстати:

EtCetera в сообщении #224626 писал(а):

"Картины рисуют художники" - фраза с точки зрения русского языка абсолютно правильная (правда, смысл хромает).

-- вовсе не хромает. Поскольку художники склоняются (причём на все лады), картины же -- нет.

Ну всё, больше не буду.

[EtCetera]

ewert
Имелось в виду, разумеется, что "Картины пишут художники" (и смысл хромал именно здесь).
В солидарности с Вами, прекращаю offtop.