Поиск кратных корней полинома

[Maxxxu]

Добрый день!
Очень нужна помощь в решении такой задачи:
Определить, когда у полинома вида

$$P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 - \bar{b}x + \bar{a}$$

имеется две пары кратных корней.

Я пробовал решать так: если $x_0$ - корень кратности 2 полинома $P(x)$, то $P(x_0) = 0$ и $P'(x_0) = 0$. Но всё равно в этом случае неизвестных больше, чем уравнений.

Ещё я нашёл такой способ: посчитать НОД(P(x),P'(x)). Но в моём случае он равен 1, то есть получается что кратных корней нет?

Заранее спасибо за помощь.

[ИСН]

Если НОД=1 (чего я не проверял), то общих корней нет. Точка.

[MGM]

Достаточно одного уравнения. Производная тут не пришей к...

В любом справочнике есть общее решения полинома 4й степени.

Однако, в вашем случае всё проще, для того и дано условие кратности.
Напишите общую формулу для таких случаев, сопоставте коэффициенты с иходным.

Детская задача.

[Maxxxu]

Корни кратные, если дискриминант равен нулю. У этого полинома дискриминант зависит от трёх переменных. Как решать одно уравнение с тремя неизвестными, я не знаю

[MGM]

Maxxxu в сообщении #222987 писал(а):

Корни кратные, если дискриминант равен нулю. У этого полинома дискриминант зависит от трёх переменных. Как решать одно уравнение с тремя неизвестными, я не знаю

А если попроще, вот так, например:
$\[ \begin{gathered} \left( {x - p} \right)^2 \left( {x - q} \right)^2 \Rightarrow a_i = f_i (p,q); \hfill \\ a_i = \tilde f_i (a_j ,a_k ); \hfill \\ \end{gathered} \]$
Последние функции можно считать усовием.

[Maxxxu]

MGM, а что такое $a_i$, $a_j$, $a_k$?

[MGM]

Maxxxu в сообщении #223011 писал(а):

MGM, а что такое $a_i$, $a_j$, $a_k$?

Все эти ${a, b}$, и ${a, b}$ с крышечками.
Надеюсь, шпала над константой не являтся маркером её принадлежности к классу "идеальных" элементов.

[Maxxxu]

Там есть просто $a$, $b$, $c$, а есть комплексно-сопряжённые...

[MGM]

Maxxxu в сообщении #223015 писал(а):

Там есть просто $a$, $b$, $c$, а есть комплексно-сопряжённые...

Тогда ещё проще.

[Maxxxu]

Сначала всё понятно - если у полинома две пары кратных корней, то его можно представить в виде

$$(x-p)^2(x-q)^2,$$

где $p$ и $q$ те самые кратные корни и есть. Как мы из этого выражения напрямую получим, например, коэффициент $a$? Или надо вместо $p$ и $q$ формулы корней квадратного уравнения подставить?

[MGM]

Maxxxu в сообщении #223023 писал(а):

Сначала всё понятно - если у полинома две пары кратных корней, то его можно представить в виде

$$(x-p)^2(x-q)^2,$$

где $p$ и $q$ те самые кратные корни и есть. Как мы из этого выражения напрямую получим, например, коэффициент $a$? Или надо вместо $p$ и $q$ формулы корней квадратного уравнения подставить?

При одинаковых степенях, должны быть одинаковые коэффициэнты.
Помножте два квадратных полинома, приравняйте коэффициенты при одинаковых степеняхи посмотрите, что получится.

Может за счёт комплексного сопряжения всё сразу и встанет на свои места.

[Maxxxu]

MGM, спасибо за помощь Что-то и правда слишком просто оказалось