Теорема Четаева о неустойчивости нулевого решения

[Cobalt]

Не понимаю, зачем в условии теоремы Четаева требуется такое ограничение на функцию $V$, что 0 - граничная точка множества точек, на которых функция $V$ положительна? Почему нельзя ограничиться только тем, что 0 - предельная точка для того же множества? Где это используется в доказательстве (то, что 0 - граничная, а не предельная)? Если надо, напишу доказательство.

[terminator-II]

Cobalt в сообщении #221900 писал(а):

Не понимаю, зачем в условии теоремы Четаева требуется такое ограничение на функцию $V$, что 0 - граничная точка множества точек, на которых функция $V$ положительна? Почему нельзя ограничиться только тем, что 0 - предельная точка для того же множества?

формально говоря, можно ограничиться, и потом сразу убедиться в том, что это противоречит остальным условиям теоремы

[Cobalt]

Нам дали эту теорему в таком виде (не в таком, как в Самойленко А.М., Перестюк Н.О., Парасюк И.О. - Диференциальни ривняння (Киев, 2003)) (далее везде x - вектор, $f:R^{n+1}\rightarrow R^n$):
Пусть $x'=f(t,x)$ $f(t,0)=0$ при $t\geq t_0$.
Если существует функция V класса непрерывно-дифференцируемых в окрестности нуля такая, что:
1. 0 - граничная для множества $B=\{V(x)| V(x)>0\}$;
2. Существует функция W класса непрерывных функций на той же окрестности такая, что:
Для всех $x\in B$: $W(x)>0$, и $V^{'}_f\geq W(x)$,
то нулевое решение неустойчиво.

Разве замена граничности точки на её предельность как-то противоречит условиям теоремы?

[terminator-II]

Cobalt в сообщении #221995 писал(а):

Нам дали эту теорему в таком виде (не в таком, как в Самойленко А.М., Перестюк Н.О., Парасюк И.О. - Диференциальни ривняння (Киев, 2003)) (далее везде x - вектор, $f:R^{n+1}\rightarrow R^n$):
Пусть $x'=f(t,x)$ $f(t,0)=0$ при $t\geq t_0$.
Если существует функция V класса непрерывно-дифференцируемых в окрестности нуля такая, что:
1. 0 - граничная для множества $B=\{V(x)| V(x)>0\}$;
2. Существует функция W класса непрерывных функций на той же окрестности такая, что:
Для всех $x\in B$: $W(x)>0$, и $V^{'}_f\geq W(x)$,
то нулевое решение неустойчиво.

Разве замена граничности точки на её предельность как-то противоречит условиям теоремы?

пусть $0\in B$ посмотрите, что даст условие 2)

а почему $V$ не зависит от $t$? Странно

[Cobalt]

terminator-II в сообщении #222004 писал(а):

пусть $0\in B$ посмотрите, что даст условие 2)

Забыл в условии теоремы написать, что неравенство $V^{'}_f (t, x) > W(x)$ должно выполняться при всех x из окрестности 0, и при всех $t\geq t_0$.
Кажется, я понял в чём ошибка во втором условии.
Пусть $W(0)>0$; но $V^{'}_f (t, 0) = 0$ при $t\geq t_0$ - а значит, равенство $V^{'}_f (0) \geq W(0)$ не может выполняться.
Правильно?

terminator-II в сообщении #222004 писал(а):

а почему $V$ не зависит от $t$? Странно

Так вроде и не должно.

[terminator-II]

Cobalt в сообщении #222011 писал(а):

Забыл в условии теоремы написать, что неравенство $V^{'}_f (t, x) > W(x)$ должно выполняться при всех x из окрестности 0, и при всех $t\geq t_0$.
Кажется, я понял в чём ошибка во втором условии.
Пусть $W(0)>0$; но $V^{'}_f (t, 0) = 0$ при $t\geq t_0$ - а значит, равенство $V^{'}_f (0) \geq W(0)$ не может выполняться.
Правильно?

да правильно

Cobalt в сообщении #222011 писал(а):

Так вроде и не должно.

вообще-то должно, а то частный случай получается. ну и теорема тогда несколько иначе формулируется. Демидович Лекции по теории устойчивости