Заблуждение про интегралы

[LetsGOX]

Господа, помогите сообразить, пожалуйста
Недавно читал одну книжечку, и там была весь тривиальная фраза - если функция непрерывна на данном участке, то она интегрируема
Я понимаю что я где-то явно заблуждаюсь, но вот где ошибка: функция $y=x^x$ далеко не непрерывна, но на отрезке $(0,+\inf)$ она будет весьма непрерывна, и значит можно найти интеграл?
Но вроде бы как у x^x интеграла нет! Или имеется в виду приближенное значение?

[nn910]

LetsGOX в сообщении #221278 писал(а):

функция $y=x^x$ далеко не непрерывна, но на отрезке $(0,+\inf)$ она будет весьма непрерывна

Фраза наводит на подозрение что непрерывность понимаете странно: чем уже область определения функции тем меньше непрерывности. Хотите поговорить об этом?

[AKM]

LetsGOX в сообщении #221278 писал(а):

Но вроде бы как у x^x интеграла нет!

Предлагаю "интегрировать по частям". И для начала разобраться с процитированной фразой. Утверждает ли она, что "вроде бы как" нет функции $F(x)$, такой, что $F'(x)=x^x$? То бишь что у x^x нет первообразной?
Если да, то это неверно. Она есть. А тот факт, что её нельзя записать знакомыми обозначениями и крючочками, совершенно не принципиален. Таких функций --- тьмы и тьмы [$\sin(\sin x)$]. При большой нужде для них изобретают специальные значки. Например:

$$\int\frac{1}{\ln x}=\mathrm{li}(x).$$

И говорят: "этот интеграл не выражается в элементарых функциях".
Я правильно понял Ваш вопрос?

[ewert]

LetsGOX в сообщении #221278 писал(а):

Я понимаю что я где-то явно заблуждаюсь,

Вы сразу в трёх местах заблуждаетесь (как минимум).

1). Неопределённость в нуле ещё не означает отсутствия непрерывности. Точнее, невозможности доопределения в нуле по непрерывности.

2). Непрерывность на полубесконечном промежутке вовсе не означает интегрируемости на нём. Ибо промежуток-то бесконечен.

3). Интегрируемость как таковая никак не связана с интегрирумостью в элементарных функциях, т.е. с возможностью выписывания каких-то явных выражений для интеграла.

[AD]

LetsGOX в сообщении #221278 писал(а):

Я понимаю что я где-то явно заблуждаюсь, но вот где ошибка: функция $y=x^x$ далеко не непрерывна, но на отрезке $(0,+\inf)$ она будет весьма непрерывна, и значит можно найти интеграл?

Давайте сначала разберем более простой пример: понятно ли Вам, что не интегрируема на $(0,+\infty)$ функция $y=1$? Понятно ли, почему?

[LetsGOX]

Спасибо всем за ответы, теперь по порядочку
nn910 Вероятно я понимаю странно, взаимосвязь по идее должна быть прямая
AKM Да нет, я не говорю про элементарные функции. Просто можно было бы для каждого нерерущегося в элементарных функция интеграла придумать свое название, а для интеграла от этого интеграла - еще название (Букв то много Но я имел в виду выразить его хоть через стандартные специальные функции (Может интегральный ***, бета, гамму или еще что приплести)
AD Так по идее раз эта функция не сходится, то получится бесконечность (Даже рисуночком - бесконечный прямоугольник имеет бесконечную площадь), да и тем более ноль в круглой скобке, то есть до него никогда не дойдет, а будет приближаться

P.S. Кстати есть такая страшная функция f(x)=1, если x-рациональное, и f(x)=-1 если x-иррациональное. С одной стороны график будет с первого взгляда представлять две прямые y=-1 и y=1, но с другой стороны он ведь дырявый (Но по идее между любыми двумя рациональными есть ираациональное)? То есть у такого чуда ж точно никакого интеграла быть не может в помине

[ewert]

LetsGOX в сообщении #221437 писал(а):

Так по идее раз эта функция не сходится, то получится бесконечность

Совершенно неправильное понимание. Отсутствие предела может встретиться вовсе не только потому, что предел бесконечен, а попросту потому, что он не существует ни в каком смысле.