Разложение в ряд Фурье

[NatNiM]

Имеется функция

$$$ f\left( x \right) = \left\{ \matrix 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 < x < 1 \hfill \cr \sin \frac{{\pi x}} {2},\,\,\,1 < x < 2 \hfill \cr \endmatrix \right. $$$

Требуется разложить в ряд Фурье по а) синусам, б) косинусам и в) синусам и косинусам.

а) доопределим на отрезке

$$$ \left( { - 2,0} \right) $$$

нечетным образом, тогда

$$$ a_0 = a_n = 0 $$$

, а $$$ b_n = \frac{2} {l}\int\limits_0^l {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi nx}} {l}dx} = \frac{2} {2}\int\limits_1^2 {\sin \frac{{\pi x}} {2} \cdot \sin \frac{{\pi nx}} {2}dx} = \sin \frac{{\pi x}} {2}\sin \frac{{\pi nx}} {2} $$ $

б) доопределим на отрезке

$$$ \left( { - 2,0} \right) $$$

четным образом, тогда $$$ b_n = 0 $$ $, а $$$ a_0 $$ $ и

$$$ a_n $$$

вычисляется по соответствующим формулам.

в)

$$$ b_n = \frac{1} {l}\int\limits_0^l {f\left( x \right)\sin \frac{{\pi nx}} {l}dx} = \frac{1} {2}\int\limits_1^2 {\sin \frac{{\pi x}} {2} \cdot \sin \frac{{\pi nx}} {2}dx} $$$

,
$$$ a_n = \frac{1} {l}\int\limits_0^l {f\left( x \right)\cos \frac{{\pi nx}} {l}dx} = \frac{1} {2}\int\limits_1^2 {\sin \frac{{\pi x}} {2} \cdot \cos \frac{{\pi nx}} {2}dx} $$ $,

$$$ a_0 = \frac{1} {l}\int\limits_0^l {f\left( x \right)} = \frac{1} {2}\int\limits_1^2 {\sin \frac{{\pi x}} {2}dx} $$$

Есть сомнения по поводу этого решения. Все ли верно?

[AKM]

NatNiM,
Вы, похоже, делаете слишком много лишней работы при наборе формул.
Не надо писать f\left( x \right), достаточно f(x), (a,b), итд.
( \left \right используются, когда нужны большие скобки).
Не надо добавлять [mаth] --- достаточно окружить формулы долларами, тэги вставятся атоматически.
Вашу формулу можно закодировать так:

$$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
  0,                       & 0 < x < 1; \\
 \sin \frac{\pi x}{2},\quad & 1 < x < 2.
 \end{array}  \right.
$$

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & 0 < x < 1; \\ \sin \frac{\pi x}{2},\quad & 1 < x < 2. \end{array} \right. $$

\quad --- длинный пробел. Другие примеры здесь.

[Gordmit]

NatNiM в сообщении #221168 писал(а):

$$ b_n = \ldots = \int\limits_1^2 {\sin \frac{{\pi x}} {2} \cdot \sin \frac{{\pi nx}} {2}dx} = \sin \frac{{\pi x}} {2}\sin \frac{{\pi nx}} {2} $$

Интеграл вычислен неверно. После интегрирования переменной $x$ уже не должно быть, $b_n$ должно зависеть только от $n$.

[NatNiM]

Спасибо за поправки. А в целом ход решения верен?

[Gordmit]

В целом - да. Но здесь вообще кроме как в вычислении интегралов и ошибиться-то негде.

-- Чт июн 11, 2009 01:36:44 --

Хотя я бы посоветовал все-таки в конце решения выписать сам ряд Фурье