Свойства целых функций на комплексной плоскости

[Mystery]

Добрый день!
Подскажите пожалуйста если кто знает (или если кто знает где почитать) такую вещь - есть ли комплексная целая (!) функция $f(z): f(z)\sim z, z \rightarrow 0,\quad f(z) -$ ограничена в остальных случаях. (как $sin x $ действительная - что-то аналогичное?)

[RIP]

Что значит "ограничена в остальных случаях"? Если целая функция ограничена на всей комплексной плоскости, то она постоянна (теорема Лиувилля), поэтому, если я правильно понял вопрос, ответ --- нет.

[Mystery]

Ага... убедительно... тогда так сформулирую - у меня есть функция

$$f(z)=\frac{1}{\exp(e^z)},\,\,\, z=x+iy,\,\, x>0$$

-- знаменатель стремится к бесконечности при $z\rightarrow \infty$ в полосах $-\frac{\pi}{2}+2\pi k<y<\frac{\pi}{2}+2\pi k$ и стремится к нулю соответственно в остальных полосах. Мне нужно немного изменить эту функцию, чтобы она осталась целой, и при этом там где знаменатель стремится к бесконечности - по прежнему к ней стремился с той же скоростью, а там, где знаменатель стремится к нулю - чтобы функция стала ограниченной, а не стремилась к бесконечности (казалось бы можно, например, к знаменателю единицу добавить - проблема решена, но тогда функция уже станет мероморфной... )
Может быть тогда можно придумать функцию которая $g(z)\sim z, z \rightarrow 0$ а в других случаях чтобы она росла медленнее $z$? Соответственно $$f(z)g(\exp(e^z))\rightarrow 1$ $при $\ezp(e^z) \rightarrow 0$ и $f(z)g(\exp(e^z))\rightarrow 0$ как $\frac{1}{\exp(e^z)},$ в других случаях.

[RIP]

Mystery в сообщении #221038 писал(а):

Может быть тогда можно придумать функцию которая $f(z)\sim z, z \rightarrow 0$ а в других случаях чтобы она росла медленнее $z$?

Целую нельзя. Если для целой функции $f(z)$ найдутся постоянные $C,d$ такие, что $|f(z)|\le C(|z|^d+1)$, то $f(z)$ --- многочлен (не знаю, как называется; скорее всего, тоже теорема Лиувилля).

По поводу первого вопроса. Не могли бы Вы чуть более формально поставить вопрос. Пока что могу сказать следующее. Если функция $f(z)$ регулярна в правой полуплоскости, ограничена на мнимой оси, причём для некоторого $C>0$ функция $f(z)e^{-C|z|}$ ограничена в правой полуплоскости и $\lim_{x\to+\infty}\frac{\log|f(x)|}x=-\infty$, то $f(z)=0$ тождественно. Хотя это не совсем то, наверное.