Поиогите разобраться с задачами по матану

[matan]

1.Представить $\[ \iiint\limits_V {f(x,y,z)dxdydz} \]$ в виде повторного в цилиндрической СК всеми возможными способами, где
$\[ V = \{ (x,y,z):x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 2Rx,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 2Ry\} \]$
2.Однородная окружность радиуса $R$ и массы $m$ вращается с угловой скоростью $\omega вокруг оси, перпендикулярной окружности и находящейся на расстоянии $d$ от ее центра.Найти кинетическую энергию окружности.

1.Удалось расписать интеграл только одним способом $\[ \iiint\limits_V {f(x,y,z)dxdydz} = \int\limits_0^{{\raise0.7ex\hbox{$\pi $} \!\mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$4$}}} {d\phi \int\limits_0^{2R\sin \phi } {rdr\int\limits_{ - \sqrt {2Rr\sin \phi - r^2 } }^{\sqrt {2Rr\sin \phi - r^2 } } {f(r,\phi ,h)dh + } } } \int\limits_{{\raise0.7ex\hbox{$\pi $} \!\mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$4$}}}^{{\raise0.7ex\hbox{$\pi $} \!\mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} {d\phi \int\limits_0^{2R\cos \phi } {rdr\int\limits_{ - \sqrt {2Rr\cos \phi - r^2 } }^{\sqrt {2Rr\cos \phi - r^2 } } {f(r,\phi ,h)dh} } } \]$
с остальными проблема
2.Окружность имеет вид $\[ \left\{ \begin{gathered} x = R\cos t \hfill \\ y = R\sin t \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$ , где $\[ t \in [0,2\pi ] \] $
Кинетическая энергия равна $\[ T = \frac{{\omega ^2 }} {2}\rho \int\limits_L {r^{2}(x,y,z)dS} \]$. Не могу разобраться чему равно $\[ {r(x,y,z)} \]$

[AKM]

2. Формула для $T$, видимо, описывает случай, когда ось вращения есть ось $OZ$. Тогда Вы забыли сместить центр окружности на $d$ (а также уточнить, что $S$ --- длина дуги?).

[matan]

AKM в сообщении #220661 писал(а):

2. Формула для $T$, видимо, описывает случай, когда ось вращения есть ось $OZ$. Тогда Вы забыли сместить центр окружности на $d$ (а также уточнить, что $S$ --- длина дуги?).

$dS$ элемент длины дуги

[AKM]

... а $x=d+R\cos t$.
А $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

[matan]

А $y=d+R\sin t$?

[nn910]

matan в сообщении #220658 писал(а):

1.Представить $\[ \iiint\limits_V {f(x,y,z)dxdydz} \]$ в виде повторного в цилиндрической СК всеми возможными способами, где
$\[ V = \{ (x,y,z):x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 2Rx,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 2Ry\} \]$
с остальными проблема

Центр СК можно выбирать не только в (0,0,0) но и в (0,R,0) и в (R,0,0)

[AKM]

matan в сообщении #220665 писал(а):

А $y=d+R\sin t$?

Нет. Смещаем по одной оси (любой, x или y). Инача расстояние будет $d\sqrt2$, а не $d$.

[matan]

nn910 в сообщении #220671 писал(а):

matan в сообщении #220658 писал(а):

1.Представить $\[ \iiint\limits_V {f(x,y,z)dxdydz} \]$ в виде повторного в цилиндрической СК всеми возможными способами, где
$\[ V = \{ (x,y,z):x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 2Rx,x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 2Ry\} \]$
с остальными проблема

Центр СК можно выбирать не только в (0,0,0) но и в (0,R,0) и в (R,0,0)

Но мне нужна СК с центром в (0,0,0)

[Gordmit]

Давайте, например, попробуем записать этот повторный интеграл в порядке $h, r, \varphi$. Т.к. переменная $h$ идет первой, то нужно определить, в каких пределах она может меняться, когда точка пробегает заданное тело. Очевидно, минимум и максимум $h$ будут в пересечении тела с плоскостью $x=y$. Подставляем $x=y$ в уравнение сферы (первой или второй - неважно) и смотрим, какие максимальное и минимальное значения принимает $z$ - это и будут пределы по $h$.

После того, как это выяснили, берем какое-нибудь произвольное значение $h$ между этими пределами и сечем тело плоскостью $z=h$. В сечении получится некая плоская фигура. Тогда останется записать интеграл по ней в полярных координатах в порядке $r,\varphi$. А если вы запишете его в порядке $\varphi, r$, то исходный интеграл получится записан в порядке $h,\varphi,r$!