Исследовать сходимость знакопеременного ряда

[rar]

Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

$$3\frac{1}{2}+3\frac{1}{4}-3\frac{1}{8}-3\frac{1}{16}+3\frac{1}{32}+3\frac{1}{64}-3\frac{1}{128}-3\frac{1}{256}+...$$

Воспользуемся признаком Лейбница.
I. Составим новый ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

$$3\frac{1}{2}>3\frac{1}{4}>3\frac{1}{8}>3\frac{1}{16}>3\frac{1}{32}>3\frac{1}{64}>3\frac{1}{128}>3\frac{1}{256}+...$$

Члены нового ряда монотонно убывают. Значит, первое условие выполнено.

II. Теперь надо вычислить предел:

$$\lim_{n\to\infty}u_n$$

Вот тут не понятно как надо найти общий член ряда для вычисления предела.

-- Вс июн 07, 2009 07:58:52 --

А можно сделать так: разбить исходный ряд на два знакопеременных ряда, установить их сходимости, и учитывая то, что если два ряда сходятся, то и их сумма сходится?
Вот на такие два ряда можно разбить исходный ряд:

$$3\frac{1}{2}-3\frac{1}{8}+3\frac{1}{32}-3\frac{1}{128}+...+(-1)^{n-1}\cdot 3\frac{1}{2^{2n-1}}+...$$

и

$$3\frac{1}{4}-3\frac{1}{16}+3\frac{1}{64}-3\frac{1}{256}+...+(-1)^{n-1}\cdot 3\frac{1}{2^{2n}}+...$$

[ewert]

rar в сообщении #220240 писал(а):

Воспользуемся признаком Лейбница.

В лоб -- не воспользуемся, ряд (в том виде как он есть) -- не знакочередующийся.

И не надо им воспользывоваться. Докажите, что ряд сходится абсолютно. Выражение для модуля общего члена очевидно.

[citadeldimon]

ewert в сообщении #220244 писал(а):

Докажите, что ряд сходится абсолютно.

Разве он будет сходится абсолютно?

[Бодигрим]

citadeldimon в сообщении #220255 писал(а):

Разве он будет сходится абсолютно? :shock:

Я вначале тоже удивился (члены ряда вроде как не стремятся к 0), но потом сообразил, что вопрошающий, наверное, имеет в виду ряд

$$3\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{1}{4}-3\cdot\frac{1}{8}-3\cdot\frac{1}{16}+3\cdot\frac{1}{32}+3\cdot\frac{1}{64}-3\cdot\frac{1}{128}-3\cdot\frac{1}{256}+...$$

[rar]

Написали три сообщения и ни о чем.

-- Вс июн 07, 2009 20:06:38 --

ewert в сообщении #220244 писал(а):

rar в сообщении #220240 писал(а):

Воспользуемся признаком Лейбница.

В лоб -- не воспользуемся, ряд (в том виде как он есть) -- не знакочередующийся.

И не надо им воспользывоваться. Докажите, что ряд сходится абсолютно. Выражение для модуля общего члена очевидно.

Вы имеете в виду вот это выражение для модуля общего члена:

$$3\frac{1}{2^n}$$

То есть, надо доказать что этот ряд сходится - то и исходный ряд будет сходиться абсолютно?

[ewert]

Бодигрим в сообщении #220295 писал(а):

но потом сообразил, что вопрошающий, наверное, имеет в виду ряд

Естественно. В математике вообще числовые дроби бывают только неправильные, иначе же -- извольте плюсик.

rar в сообщении #220436 писал(а):

Написали три сообщения и ни о чем.

А что ещё писать-то?... Вы ведь так пока и не удосужились исследовать ряд, составленный из модулей. Или хотя бы его выписать.

-- Вс июн 07, 2009 20:09:05 --

rar в сообщении #220436 писал(а):

То есть, надо доказать что этот ряд сходится - то и исходный ряд будет сходиться абсолютно?

Уф-ф, наконец-то.

[rar]

А если он не сойдется. То все равно надо будет исследовать исходный ряд. Или по сценарию он должен сойтись? Я так с исследованием ряда как знакочередующегося будут проблемы?

[Виктор Викторов]

Абсолютно этот ряд не сходится. (Общий член стремится к трём, а не к нулю). Но может сойтись неабсолютно. Предлагаю Вам следующие манипуляции (но каждый раз проверяйте их законность):
1. Представьте каждый член как сумму тройки и некоторой дроби. После этого тройки аннигилируются (проверяйте законность).
2. Теперь сгруппируйте члены по двое и сложите. В числителе получите всегда тройку. Вынесите её за знак суммы (проверяйте законность).
3. Осталась она. Да-да. Мне неловко. Гео… прогрессия.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #220460 писал(а):

(Общий член стремится к трём, а не к нулю). Но может сойтись неабсолютно.

нихренасе. Как может сойтись в каком бы то ни было смысле ряд, общий член которого стремится не к нулю?...

[Виктор Викторов]

Вы же только что утверждали, что этот ряд:

ewert в сообщении #220244 писал(а):

Докажите, что ряд сходится абсолютно.

Я же только предполагаю и предлагаю проверять законность каждого шага. Напоминаю, что ряд (1 – 1) + (1 – 1)… сходится, а 1 – 1 + 1 – 1… расходится.

[AD]

Виктор Викторов в сообщении #220467 писал(а):

Вы же только что утверждали, что этот ряд:

Не этот ряд, а

Бодигрим в сообщении #220295 писал(а):

$$3\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{1}{4}-3\cdot\frac{1}{8}-3\cdot\frac{1}{16}+3\cdot\frac{1}{32}+3\cdot\frac{1}{64}-3\cdot\frac{1}{128}-3\cdot\frac{1}{256}+...$$

ewert в сообщении #220438 писал(а):

В математике вообще числовые дроби бывают только неправильные, иначе же -- извольте плюсик.

-- Вс июн 07, 2009 21:45:02 --

Но даже если бы ewert сказал глупость - это не повод ее повторять.

[Виктор Викторов]

AD в сообщении #220469 писал(а):

Но даже если бы ewert сказал глупость - это не повод ее повторять.

Вы правы.

[Бодигрим]

ewert в сообщении #220438 писал(а):

Естественно. В математике вообще числовые дроби бывают только неправильные, иначе же -- извольте плюсик.

Видимо, это естественно далеко не для всех. Только в этой теме уже трое (я, citadeldimon и Виктор Викторов) запись вопрошавшего изначально трактовали не так.

[rar]

Вроде, по Даламберу

$$D=\frac{1}{2}<1$$

сходится. Значит ряд сходится абсолютно. Но в ответе написано, что расходится. В чем подвох?

[Бодигрим]

Ряд $\sum_{n=1}^\infty {3\over 2^n}$ точно сходится, откуда можно гарантировать и сходимость любого ряда вида $\sum_{n=1}^\infty \pm{3\over 2^n}$. Может у вас опечатка в ответе? Или авторы все же имели в виду не умножение, а правильную дробь?