Определение контура

[Codegrammer]

Господа, прошу прощения за глупый вопрос. Но меня мучает то, что уже год воспринимаю понятие контура как понятие кривой. А в чем, собственно, разница? И какое точное определение контура? Просмотрел Фихтенгольца, Кудрявцева и Зорича. Там определения нет (по крайней мере в алфавитном указателе контура не нашел). Надеются на нашу интуицию . Желательно дать ссылку на какую-нибудь литературу с этим определением.

[meduza]

это одно и то же, только контур обычно замкнутый

[ewert]

Кривая обычно определяется как результат некоторой параметризации, т.е. как множество значений некоторой непрерывной функции $\vec x(t)$, когда $t$ пробегает некоторый промежуток. Кривая называется замкнутой (т.е. контуром), если на концах этого промежутка та функция принимает одно и то же значение.

[antbez]

У контура обычно есть и направление!

[ewert]

Естественно. И задаётся оно именно тем, какая точка кривой определяется начальной точкой упомянутого отрезка, а какая -- конечной.

[antbez]

Наличие направления и является, наверное, главным отличием контура от кривой. Иначе- в чём ещё?

[мат-ламер]

Сообщение от ewerta не понял, т.к. точки вроде одинаковые в конце и начале. Что-бы внести ещё большую неразбериху, замечу что в некоторых книгах такие кривые называются путями. А кривыми называются классы эквиваентных путей. Эквивалентность понимается в с том смысле, что от одного пути можно перейти к другому взимнооднозначной монотонной заменой параметра.

[ewert]

antbez в сообщении #219833 писал(а):

Наличие направления и является, наверное, главным отличием контура от кривой. Иначе- в чём ещё?

Вовсе нет. Кривая тоже может быть как направленной, так и нет (в этом, кстати, и одно из различий криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода -- различаются ли направления или нет; хотя там это различие и не главное).

А главное различие -- в другом. Для просто кривой начало и конец никак между собой не связаны, а для контура -- обязаны совпадать.

-- Пт июн 05, 2009 16:13:41 --

мат-ламер в сообщении #219835 писал(а):

Эквивалентность понимается в с том смысле, что от одного пути можно перейти к другому взимнооднозначной монотонной заменой параметра.

Ну да. А монотонность может быть в одну сторону, а может и в противоположную. Именно этим и определяется то, что понимается под "направлением прохода".

[antbez]

ewert в сообщении #219837 писал(а):

А главное различие -- в другом. Для просто кривой начало и конец никак между собой не связаны, а для контура -- обязаны совпадать.

Не обязательно! Если мы в ТФКП рассматриваем контурные интегралы, то один конец контура может быть на бесконечности, второй- в какой-либо конечной точке...

[мат-ламер]

Ещё вопрос, достаточно ли для (замкнутого) контура совпадения начальных и конечных точек? Может надо потребовать, чтобы внутри не было "слипшихся" точек, т.е. чтобы контур был гомеоморфен окружности (а не восьмёрке)?

[ewert]

antbez в сообщении #219839 писал(а):

Не обязательно! Если мы в ТФКП рассматриваем контурные интегралы, то один конец контура может быть на бесконечности, второй- в какой-либо конечной точке...

Не-мо-жет! оба конца обязаны совпадать. В порядке извращения оба конца могут быть на бесконечности, но тогда мы обязаны указать, по какую из сторон получившейся кривой мы находимся.

[Codegrammer]

meduza в сообщении #219797 писал(а):

это одно и то же, только контур обычно замкнутый

А как же тогда словосочетание "замкнутый контур"? Я часто его встречал.

И еще: если кто-нибудь видел это определение в литературе - киньте ссылку.

-- Пт июн 05, 2009 16:33:54 --

мат-ламер в сообщении #219841 писал(а):

Ещё вопрос, достаточно ли для (замкнутого) контура совпадения начальных и конечных точек? Может надо потребовать, чтобы внутри не было "слипшихся" точек, т.е. чтобы контур был гомеоморфен окружности (а не восьмёрке)?

это называется простой замкнутый контур (т.е. контур без точек самопересечений).

[ewert]

мат-ламер в сообщении #219841 писал(а):

Ещё вопрос, достаточно ли для контура совпадения начальных и конечных точек? Может надо потребовать, чтобы внутри не было "слипшихся" точек, т.е. чтобы контур был гомеоморфен окружности (а не восьмёрке)?

А это уже -- дело вкуса. Допускаем ли мы возможность самопересечений кривой, или требуем, чтобы контуром имела право называться лишь кривая без самопересечений?...

Вообще если так углубляться, то вопрос оказывается не таким уж и тривиальным. Собственно, он вот в чём: а что формально считать внутренностью контура?...

Слава богу, для всех практически интересных задач этот вопрос празден.

-- Пт июн 05, 2009 16:36:16 --

Codegrammer в сообщении #219844 писал(а):

А как же тогда словосочетание "замкнутый контур"?

А это просто тавтология, всего лишь для пущей внятности, и вполне простительная.

[мат-ламер]

По-моему, вопрос о внутренности решён её Жорданом в 19-м веке, который доказал теорему, что контур разбивает плоскость на внутреннюю и внешнюю части.

[ewert]

да решён-то он решён, только решение -- совершенно нетривиально (с формальной точки зрения).

И что ещё интереснее -- практически оно и не нужно. Для той же ТФКП.