Задача по линейной алгебре

[Geremy]

Задано преобразование трехмерного пространства V - множества радиус векторов с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число со стандартным базисом i, j, k.
Задание: Зеркальное отражение в плоскости , содержащей векторы i - k и j.
Составить матрицу этого преобразования относительно стандартного базиса.

При зеркальном отражении , то что j переходит в j это понятно , а вот что происходит с остальным двумя векторами непонятно...
Если кто знает отпишитесь.Заранее благодарю.

[Voodoo Man]

ничего не понимаю . Что за преобразование? Симметрия относительно $L (i, k)$ параллельно $L(j)$? вы не могли бы поточнее сформулировать задание? Может быть и сами тогда ответите на свой вопрос......

[Geremy]

Вот полное задание :
Зеркальное отражение в плоскости , содержащей векторы i - k и j.(это и есть преобразование)
1)Является ли это преобразование биективным?
2)Доказать линейность этого преобразования.
3)Найти ядро, образ, дефект, ранг, инвариантные подпространства, собственные значения и собственные вектора.
4)Составить матрицу этого преобразования относительно стандартного базиса.

[Бодигрим]

Вот у нас вектор $ai+bj+ck$. Как выглядит его проекция на плоскость, относительно которой берется отражение? Как выглядит перпендикуляр?

[AKM]

Geremy,

Пожалуйста, ознакомьтесь с Правилами форума.
В частности, учтите, что если вы просите помощи в решении учебной задачи, то обязательно должны продемонстрировать свои содержательные попытки решения.
При этом правильно набирая формулы...

[ewert]

Ну, положим, формул не было, да и не было в них необходимости. А насчёт халявы -- да, это да.

Geremy в сообщении #219656 писал(а):

1)Является ли это преобразование биективным?
2)Доказать линейность этого преобразования.
3)Найти ядро, образ, дефект, ранг, инвариантные подпространства, собственные значения и собственные вектора.

1). Любое отражение унитарно -- и, следовательно, биективно.
2). Любое отражение линейно -- по определению отражения, ибо любое отражение формально определяется через некие проекторы, которые всегда линейны.
3). Образ есть сама проектируемая плоскость. Соотв., ранг равен двум. Дефект -- дело вкуса, скорее всего, это коранг и тогда, соотв., единица. Ядро -- это ортогональное дополнение к образу (просто ввиду самосопряжённости), т.е. прямая, перпендикулярная плоскости проецирования. Инвариантные подпространства суть ядро и образ (ну и, конечно, любые подпространства образа, раз уж образ не одномерен). Собственные значения для любого отражения -- это либо (+1), либо (-1). Собственные векторы -- см. выше насчёт инвариантных п/пр. Короче, тупо геометрические соображения.
4). Насчёт матрицы преобразования -- вот это да, это единственное, что требует явного выписывания. Но и это тривиально. Вспомните, как определяется матрица линейного преобразования через разложения образов базисных векторов. А сами образы в данной ситуации опять-же геометрически очевидны.

[AKM]

ewert в сообщении #219670 писал(а):

Ну, положим, формул не было, да и не было в них необходимости.

А никто и не говорил, что они были.

AKM в сообщении #219663 писал(а):

...обязательно должны продемонстрировать свои содержательные попытки решения.
При этом (т.е. в процессе демонстрации таковых) правильно набирая формулы...

[ewert]

ewert в сообщении #219670 писал(а):

3). Образ есть сама проектируемая плоскость. Соотв., ранг равен двум. Дефект -- дело вкуса, скорее всего, это коранг и тогда, соотв., единица. Ядро -- это ортогональное дополнение к образу (просто ввиду самосопряжённости), т.е. прямая, перпендикулярная плоскости проецирования. Инвариантные подпространства суть ядро и образ

Пардон, какое-то умопомрачение наступило. Зачем-то спутал собственно отражение с порождающим его проектором.

Разумеется, образ есть всё пространство, а ядро тривиально. А вот инвариантные подпространства -- это, конечно, плоскость проецирования (оно отвечает собственному числу (+1)) и перпендикулярная к ней прямая (с.ч.(-1)).

[Geremy]

Спасибо за помощь. Матрица преобразования получилась в таком виде:
$A=(A(i) ~~A(j)~ ~ A(k))$ $A=(i+0*j-0*k ~ ~0*i+j-0*k ~ ~0*i+0*j-k)$
$A=(i ~~j ~~ -k)$

[Бодигрим]

Матрица преобразования должна быть $3\times3$ вообще-то.

[Geremy]

Матрица и получается 3х3 , если расписать столбцы $ i , j , k$
$i=(1~~0~~0)^T$, $j=(0~~1~~0)^T$, $-k=(0~~0~~-1)^T$