Непрерывность отображения

[crack_90]

Здравствуйте! Очень нужна ваша помощь! Помогите проверить непрерывность отображения, действующего из пространства R^2_1 в себя:

f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} \left(\frac{{x_1}^2}{\sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2}},\frac{{x_2}^2}{\sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2}}\right), & x_1,x_2 \ne 0 \\ 0, & x _1 = x_2 = 0 \end{array}

Заранее спасибо!

[Dan B-Yallay]

crack_90 в сообщении #219200 писал(а):

Здравствуйте! Очень нужна ваша помощь! Помогите проверить непрерывность отображения, действующего из пространства R^2_1 в себя:

f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} \left(\frac{{x_1}^2}{\sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2}},\frac{{x_2}^2}{\sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2}}\right), & x_1,x_2 \ne 0 \\ 0, & x _1 = x_2 = 0 \end{array}

Заранее спасибо!

Применяйте определение непрерывности "в лоб"

[crack_90]

Dan B-Yallay в сообщении #219203 писал(а):

Применяйте определение непрерывности "в лоб"

Пробовал взять последовательности $x_1^n$ и $x_2^n$, стремящиеся к $x_1 $и $x_2 $соответственно и находить метрику между $f(x^n)$ и $f(x)$. Доказывая,что модуль разности,например, $x_1^n$ и $x_1$ стремится к 0, приходим к тому,что метрика = 0, следовательно отображение является непрерывным. Это ли вы считается "в лоб"? Просто возникают небольшие трудности с упрощением получившегося выражения,и из-за этого не могу доказать вышеописанное... Поэтому и прошу помочь. Или же имеется ввиду какое-либо другое определение непрерывности? Их, по-моему, несколько

[ewert]

ну, вне окрестности нуля непрерывность тривиальна. А в его окрестности -- тем более. Сумма компонент тривиально много меньше нуля (поскольку она оценивается положительной степенью радиуса).

[Dan B-Yallay]

Определение непрерывности (навскидку, точно не помню):
_________________________________________
Функция $f$ является непрерывной в точке $a$, если она определена в этой точке и
$\exists \lim_{x \to a}f(z)=f(a)$
_________________________________________


У вас все точки вне подозрений, кроме одной: $a=0, \ f(0)=0$ (там знаменатель обнуляется.)

Пусть $(x_n, y_n) \to 0$ тогда $\lim | f(x_n, y_n)-f(0)|=|f(x_n, y_n)|= \lim \dfrac {x_n^4+y_n^4}{x_n^2+y_n^2} \ldots$


Сумма компонент тривиально много меньше нуля

Хм... там вроде как все компоненты положительны.