Решение диф уравнения в частных производных

[nemoart]

$x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}+(z-\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \frac{\partial u}{\partial z}=0$
Не могу найти "второй" первый интеграл, ибо "первый" элементарен... $x=Cy$

Ответ: $ C=z+\sqrt{x^2+y^2+z^2} $

[nemoart]

Буду заранее благодарен

[Полосин]

$x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi$:
$ru_r+(z-\sqrt{r^2+z^2})u_z=0$,
$rdz-(z-\sqrt{r^2+z^2})dr=0$.
$z=rw$:
$dw/\sqrt{1+w^2}=-dr/r$,
$r(w+\sqrt{1+w^2})=z+\sqrt{r^2+z^2}=C$.

[nemoart]

Полосин в сообщении #218151 писал(а):

$x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi$:
$ru_r+(z-\sqrt{r^2+z^2})u_z=0$,
$rdz-(z-\sqrt{r^2+z^2})dr=0$.
$z=rw$:
$dw/\sqrt{1+w^2}=-dr/r$,
$r(w+\sqrt{1+w^2})=z+\sqrt{r^2+z^2}=C$.

Можно По подробнее, как от
$u_x$ перешли к $u_r$...

[nemoart]

Все, разобрался - через симметричную форму. Однородное уравнение с заменой: $t=z/y$, получаем с разделяющимеся переменными.
Тема закрыта.