Линейная алгебра. Вырожденая матрица

[Nikita1917]

Добрый день. Линейная алгебра/решение матричных уравнений АХ=В
Матрица А - вырожденная(опред.равен нулю). В двух словах: что в этом случае нужно делать? Заранее благодарен.

[EtCetera]

Ничего не нужно. Если $B$ - ненулевой вектор, то решений нет.

[Парджеттер]

Можно еще добавить для полной характеристики этого случая, что если $B=0$ (мало ли), то решение есть. Но не единственное.

[AD]

По-моему, никто ничего не понял. Во-первых, речь идет о матричных уравнениях, то есть $X$ - матрица. Во-вторых, даже для векторов

$$\left(\begin{matrix}1&1\cr 1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\cr 1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\cr 2\end{matrix}\right)$$

, то есть почему все говорят, что если $A$ вырождена, а $B\neq0$, то решений нет??

[Парджеттер]

AD в сообщении #217565 писал(а):

По-моему, никто ничего не понял. Во-первых, речь идет о матричных уравнениях, то есть $X$ - матрица.

А это не один хрен? Ведь, если $\text{det}A=0$, то тогда $\nexists A^{-1}$

-- 27 май 2009, 13:45 --

AD в сообщении #217565 писал(а):

Во-вторых, даже для векторов

$$\left(\begin{matrix}1&1\cr 1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\cr 1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\cr 2\end{matrix}\right)$$

, то есть почему все говорят, что если $A$ вырождена, а $B\neq0$, то решений нет??

Да, это лихое утверждение. При $B \ne 0$, действительно, нельзя с уверенностью сказать, что система несовместна. Ибо ступенчатый вид $A$ не будет треугольным. Надо смотреть по ситуации. Или теорему Кронекера-Капелли.

[antbez]

Если брать пример, написанный выше, и искать вектор, $X$ то решений будет бесконечно много! Но решать можно только методом Гаусса, так как методы обратной матрицы и Крамера не подходят ввиду вырожденности матрицы.

[AD]

Парджеттер в сообщении #217567 писал(а):

А это не один хрен?

Ну да, конечно, один хрен, ибо всё всегда распадается на столбики. Вопрос решен?

[Nikita1917]

(3 1)*Х = (2 1)
(6 2) (3 2)

Прошу извинить за форму в которой представлены матрицы./ Мне только хотелось узнать, что делать в том случае, если обратной матрицы(применительно к той что слева) не существует.

-- Ср май 27, 2009 18:28:54 --

И далее, насколько я понимаю: метод Гаусса, Крамера/теорема Кронкера-Капелли используется при решении систем линейных уравнений..(которые, как частный случай, могут решаться матричным способом). В данном же случае речь о матричном уравнении, и Х - соответственно матрица.

[Brukvalub]

Nikita1917 в сообщении #217622 писал(а):

В данном же случае речь о матричном уравнении, и Х - соответственно матрица.

Вот же AD сформулировал подход:

AD в сообщении #217573 писал(а):

Ну да, конечно, один хрен, ибо всё всегда распадается на столбики. Вопрос решен?

То есть матричное уравнение можно свести к БОЛЬШОЙ системе обычных линейных уравнений, если рассмотреть отдельно столбцы искомой матрицы и соответствующие им столбцы матрицы из правой части уравнения. А дальше -

Nikita1917 в сообщении #217622 писал(а):

метод Гаусса, Крамера/теорема Кронкера-Капелли

Вот только про Крамера для вырожденной системы я не понял.

[vlad239]

Обозначьте все элементы матрицы неизвестными (их будет много). Потом перемножьте матрицы по определению и приравняйте соответствующие элементы. Получится огромная система. В Вашем случае она распадется на много маленьких.

Влад.

[Nikita1917]

Cпасибо! // Обозначил, перемножил по определению и приравнял: $3a+c=2$ $6a+2c=3$ $3b+d=1$ $6b+2d=2$
Cоответственно если представить в виде расширенной матрицы:

3 0 1 0 / 2
6 0 2 0 / 3
0 3 0 1 / 1
0 6 0 2 / 2

Нижние две строчки - кратные, и стало быть - определ.равен нулю. Решений нет. Вроде верно?

[Brukvalub]

Nikita1917 в сообщении #217798 писал(а):

Нижние две строчки - кратные, и стало быть - определ.равен нулю. Решений нет. Вроде верно?

А как связано равенство нулю определителя с отсутствием решений?

[CowboyHugges]

Nikita1917 в сообщении #217798 писал(а):

Нижние две строчки - кратные, и стало быть - определ.равен нулю. Решений нет. Вроде верно?

Нет. Но если присмотреться, то у Вас ранг матрицы меньше ранга расширенной матрицы, значит система несовместна. Дерзайте.

[ewert]

Nikita1917 в сообщении #217622 писал(а):

Прошу извинить за форму в которой представлены матрицы./ Мне только хотелось узнать, что делать в том случае, если обратной матрицы(применительно к той что слева) не существует.

Ну, есть, формально говоря (как уже неоднократно упоминалось) теорема Кронекера-Капелли. Только практической пользы от неё -- ровно ноль. С практической точки зрения: если удастся методом Гаусса или аналогичными разложениями получить решение (в пределах погрешности округлений, разумеется) -- хорошо. Не удастся -- сливай воду.

[mefi111]

Как мне кажется, здесь нужно воспользоваться методом Гаусса, но я могу ошибаться. Мне вот недавно помогли решить контрольную работу по линейной алгебре с матрицами на .... Попробуйте обратиться, вам там тоже помогут решить эту задачу.

AKM:

Ссылка на сторонний сайт удалена.