свойства решений уравнения вида y''-G(t)y=0

[BabbyAS]

Помогите найти способ определить участки возрастания и убывания решения уравнения вида $y''-G(t)y=0$. Можно считать, что вид $G(t)$ известен.

[EtCetera]

Промежутки возрастания и убывания функции определяются с помощью ее производной. Или Вам непонятно как найти само решение уравнения? На этот случай существуют определенные замены, позволяющие, например, снизить порядок ДУ...

[terminator-II]

EtCetera в сообщении #217260 писал(а):

Промежутки возрастания и убывания функции определяются с помощью ее производной.

а мы то и не знали

EtCetera в сообщении #217260 писал(а):

На этот случай существуют определенные замены, позволяющие, например, снизить порядок ДУ...

продемонстрируйте пожалуйста замену, которая позволяет снизить порядок этого уравнения

[EtCetera]

Ну, например $y=e^{\int z(t)\,dt}$. Хотя, разумеется, полученное уравнение совершенно необязательно будет иметь решение...
В данном случае получается уравнение Риккати, которое в общем случае решения, конечно, не имеет. Однако при определенных $G(t)$ оно может и решиться...

[ewert]

BabbyAS в сообщении #217217 писал(а):

Помогите найти способ определить участки возрастания и убывания решения уравнения вида

Во-первых: какого решения?... -- их пространство ведь двумерно. Во-вторых, в общем случае никак (если нет явного вида решения). Например, попытайтесь явно выписать корни производной функций Эйри (когда и всего-то $G(t)=t$).

[mihiv]

Если уравнение записать в виде $y'(t)=y'(0) + \int_0^t G(u)y(u)du $, то в некоторых простых случаях можно судить о поведении $y(t)$. Например, если $y'(0)>0, y(0)\geqslant 0, G(t) \geqslant 0$ на $[0,\infty]$, то $y(t)$ возрастает на $[0, \infty]$.