интегрируемость функции по Риману

[NatNiM]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться. Необходимо определить, интегрируемые ли по Риману функции:
$\[ \frac{{\sin x}}{x};\,\,\frac{{\cos x}}{x};\,\,\frac{1}{x};\,\,\left\{ \begin{array}{l} - x,\,x < 0, \\ 1 + x,\,\,x \ge 0 \\ \end{array} \right. \] $
на промежутке $\[ \left[ { - 1,1} \right] \]$

Насколько я понимаю, функции должны быть ограничены и непрерывны на указанном промежутке для того, чтобы быть интегрируемы на этом промежутке. Получается, что ни одна из этих функций не интегрируема на данном промежутке?

[Brukvalub]

NatNiM в сообщении #217040 писал(а):

Насколько я понимаю, функции должны быть ограничены и непрерывны на указанном промежутке для того, чтобы быть интегрируемы на этом промежутке.

Неправильно понимаете. Есть масса критериев интегрируемости: Дарбу, Лебега...
Ни в одном из них непрерывности всюду не предполагается.

[galileopro]

Да. Там например промежуток интегрируемости может быть разбит на счетное к-во промежутков, на кажодм из которых ф-я интегрируема, но в точках разбиения терпит разрыв 1-го рода. И др.

[NatNiM]

Но ведь необходимым условием является непрерывность, а достаточным - ограниченность.
Но я всё равно ума не приложу как подступить к исследованию на интегрируемость.

[Brukvalub]

NatNiM в сообщении #217140 писал(а):

Но ведь необходимым условием является непрерывность, а достаточным - ограниченность.

Все совсем наоборот.

[Виктор Викторов]

Критерий Лебега.

Функция, определённая на отрезке, интегрируема по Риману на этом отрезке в том и только в том случае, когда она ограничена на этом отрезке и непрерывна почти во всех его точках. [Зорич стр. 338]
За Зорича: спасибо terminator-II.

[NatNiM]

Виктор Викторов в сообщении #217144 писал(а):

Критерий Лебега.

Функция, определённая на отрезке, интегрируема по Риману на этом отрезке в том и только в том случае, когда она ограничена на этом отрезке и непрерывна почти во всех его точках.

А если не по Риману? Получается, что ограниченность - это необходимый признак, а непрерывность - достаточный.

Для функции $\[ \frac{{\sin \left( x \right)}}{x} \]$
проверка интегрируемости по Риману на отрезке $\[ \left[ { - 1;1} \right] \]$
запишется
$\[ \begin{array}{l} \Delta x_i = \frac{{1 - \left( { - 1} \right)}}{n} = \frac{2}{n} \\ \Delta x_n = \left( { - 1 + \frac{{2\left( {n - 1} \right)}}{n};\,\,1} \right) \\ \xi _n = - 1 + \frac{{1 + 2\left( {n - 1} \right)}}{n} \\ \end{array} \]$
и следовательно,
$\[ \mathop {\lim }\limits_{i \to 0} \xi _i \Delta x_i = \mathop {\lim }\limits_{i \to 0} \left( {\frac{{\sin \left( {1 - \frac{1}{n}} \right)}}{{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)}}} \right) \cdot \frac{2}{n} = 0 \]$

Означает ли это, что функция интегрируема по Риману? И значение интеграла равно 0?

[Brukvalub]

NatNiM в сообщении #217211 писал(а):

Означает ли это, что функция интегрируема по Риману?

Отвечу вопросом на вопрос: а какой критерий интегрируемости Вы проверяете?

[NatNiM]

Критерий Римана.

[Brukvalub]

NatNiM в сообщении #217269 писал(а):

Критерий Римана.

Прошу Вас для начала сформулировать здесь этот критерий.

[Виктор Викторов]

NatNiM в сообщении #217211 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #217144 писал(а):

Критерий Лебега.

Функция, определённая на отрезке, интегрируема по Риману на этом отрезке в том и только в том случае, когда она ограничена на этом отрезке и непрерывна почти во всех его точках.

А если не по Риману? Получается, что ограниченность - это необходимый признак, а непрерывность - достаточный.

NatNiM в сообщении #217269 писал(а):

Критерий Римана.

1. Так по Риману или не по Риману?
2. Понимаете ли Вы, что такое необходимость и достаточность? Ведь написано «в том и только в том случае», т.е. необходимо и достаточно. Теперь скажите, если функция непрерывна почти во всех его точках отрезка, но не ограничена, то этого достаточно для интегрируемости по Риману? Заодно ("ограниченность - это необходимый признак, а непрерывность - достаточный" почему?) подумайте (вчитавшись в критерий Лебега), что произойдет, если функция непрерывна (не почти) на отрезке.

[CowboyHugges]

Удалил, но не знаю как

[Brukvalub]

CowboyHugges в сообщении #217284 писал(а):

и по признаку Абеля

Разве Абель предложил хоть один признак интегрируемости функции по Риману?

[CowboyHugges]

Brukvalub, Абель-то не предлагал, но вот Фихтенгольц по аналогии с признаком сходимости рядов, назвал его именно так Но я прошу прощения он тут не подходит Так что сообщения удалю, ссори

[AD]

CowboyHugges,Так дело не в этом. Признак Абеля устанавливает несобственную интегрируемость, а этого мало.