О сравнении мощностей множеств

[Sasha2]

Мне кажется, что справедлива следующая лемма, с помощью которой можно очень легко доказать теорему Шредера-Бернштейна о сравнении мощностей множеств, избежав построения, которое приведено в доказательстве этой теоремы. Не совсем просто понятен конструктив из учебника Натансона «Теория функций вещественных переменных». Тоже самое относительно учебника Аленксандрова "Введение в теорию множеств и общую топологию".

Лемма: Если A1 и A2 – два непересекающихся подмножества множества A, то тогда, если множество A равномощно A1, оно также будет равномощно и объединению A1 и A2.
Док-во: По условию имеется биекция f: A1→A. Построим биекцию между объединением A1 ∩ A2 и A следующим образом. Каждому элементу из A1 образ которого лежит в A1 ∩ A2 поставим в соответствие его самого, всем остальным элементам из A1 ∩ A2 поставим в соответствие элемент по биекции f. Каждому элементу из множества A2 поставим в соответствие его самого. Построенное отображение и есть биекция из A1 ∩ A2 в A.

Пожалуйста, подскажите есть ли в этом рассуждении ошибка. Я вот ищу и не могу найти. Но может быть все таки есть ошибка в этой лемме?

[Brukvalub]

Sasha2 в сообщении #216909 писал(а):

Построим биекцию между объединением A1 ∩ A2 и A следующим образом

Объединение множеств пишется не так. Доказательство леммы - верно.

[AD]

Sasha2 в сообщении #216909 писал(а):

всем остальным элементам из A1 ∩ A2 поставим в соответствие элемент по биекции f. Каждому элементу из множества A2 поставим в соответствие его самого.

Не понял, в этом фрагменте - объединение или пересечение? Если объединение, то заявления противоречат друг другу. Если пересечение, то первая фраза бессмысленна, ибо

Sasha2 в сообщении #216909 писал(а):

A1 и A2 – два непересекающихся подмножества

[Sasha2]

Что касается знака объединения, то это, конечно, опечатка моя.
Но вот что касается доказательства (лемма то верна), все таки не очень я уверен, что оно правильно.

Если же эта лемма верна, то тогда получаем следующее доказательство теоремы Шредера Бернштейна.
Теорема: Если для двух множеств A и B, таких, что A1⊂A и B1⊂B справедливо, A~B1 и B~A1, то тогда и A~B.
Доказательство: Из условий теоремы легко получить, что A равномощно некоторой части множества A1, а следовательно, дополнив эту часть до A1, получим (согласно доказанной лемме), что A равномощно A1, а следовательно и B.

[tolstopuz]

Пусть $A=\mathbb{N}, A_1=\{3,6,9,...\}, A_2=\{2,5,8,...\}, f: x \mapsto \frac x 3$.

Цитата:

Каждому элементу из $A_1$ образ которого лежит в $A_1 \cup A_2$ поставим в соответствие его самого

$6 \mapsto 6$
$9 \mapsto 9$
$15 \mapsto 15$
$18 \mapsto 18$
$\cdots$

Цитата:

Каждому элементу из множества $A_2$ поставим в соответствие его самого.

$2 \mapsto 2$
$5 \mapsto 5$
$8 \mapsto 8$
$11 \mapsto 11$
$\cdots$

Цитата:

всем остальным элементам из $A_1$ поставим в соответствие элемент по биекции f

$3 \mapsto \ldots$?
$12 \mapsto \ldots$?

[Sasha2]

Да вижу, что есть в доказательстве леммы ошибка.

[Brukvalub]

tolstopuz в сообщении #216980 писал(а):

$3 \mapsto \ldots$?
$12 \mapsto \ldots$?

$3 \mapsto \ 1 $
$12 \mapsto \ 4 $

[AKM]

Sasha2 в сообщении #216930 писал(а):

Что касается знака объединения, то это, конечно, опечатка моя.

AKM:

Опечатка на фоне старательного уклонения от использования $\TeX$овской нотации. При том, что Вы --- не новичок.
Призываю Вас осваивать это.

[tolstopuz]

Brukvalub в сообщении #216992 писал(а):

tolstopuz в сообщении #216980 писал(а):

$3 \mapsto \ldots$?
$12 \mapsto \ldots$?

$3 \mapsto \ 1 $
$12 \mapsto \ 4 $

$\ldots \mapsto 3$?
$\ldots \mapsto 12$?

[Brukvalub]

Да, здесь и кроется ошибка.