2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача о пределе интегрального выражения
Сообщение21.05.2009, 23:55 


12/05/09
68
Нижний Новгород
Доказать, что если функция $f$ непрерывна при $x\geq0$ и $$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=a\in \mathbb R$$, то $$\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt=a$$.

Мысли вот какие:
Если $a\neq0$, то вообще говоря из геом. смысла очевидно (хотя и без него легко доказывается), что $$\lim_{T\rightarrow+\infty}F(T)=\infty$$ того же знака, что и $a$, где $F$ - одна из первообразных функции $f$.

Сам бог велел применить формулу Ньютона-Лейбница (а исходя из условия задачи, применить мы ее можем), получим:
$$\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt=\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{F(T)-F(0)}{T}=$$(лопиталь)$$=\lim_{T\rightarrow+\infty}f(T)=a$$

Теперь пусть $a=0$.
1) $$\lim_{T\rightarrow+\infty}F(T)=\infty$$ - здесь рассуждения аналогичные.
2) $$\lim_{T\rightarrow+\infty}F(T)=\alpha$$ - тогда очевидно $$\lim_{T\rightarrow+\infty}\frac{F(T)-F(0)}{T}=0$$
3) $$\nexists\lim_{T\rightarrow+\infty}F(T)$$ - этот момент вызвал затруднения. Помогите пожалуйста?

З.Ы. Может быть можно эту задачу короче решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл + предел
Сообщение22.05.2009, 00:02 


02/07/08
322
Я бы по определению предела делал: возьмём $\varepsilon>0$ и по нему найдём $T_0$, что при всех $T>T_0$ среднее значение отличается от $a$ не больше чем на $\varepsilon$. Дальше стандартно: выбираем $T_1$, чтобы функция при $x > T_1$ отличалась от $a$ не больше чем на $\varepsilon / 2$, интеграл от $0$ до $T$ разбиваем в сумму двух с точкой разбиения $T_1$ (берём $T$ > $T_1$) и ищем искомое $T_0$.
Если знать и уметь пользоваться верхним и нижним пределами функции, то можно чуть изящнее всё это записать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл + предел
Сообщение22.05.2009, 06:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Ryabsky в сообщении #216047 писал(а):
Может быть можно эту задачу короче решить?

А пролопиталить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл + предел
Сообщение22.05.2009, 07:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bot в сообщении #216065 писал(а):
А пролопиталить?

При $a\neq0$ -- безусловно. А вот при $a=0$ этот фокус не пройдёт. Там обычно так: делят интеграл на два -- на $\int_0^{\sqrt T}$ и на $\int_{\sqrt T}^T$, и оба интеграла легко оцениваются.

Но можно (при $a=0$) и гораздо вульгарнее: прибавить и вычесть к функции любую константу, после чего задача сводится к предыдущей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл + предел
Сообщение22.05.2009, 22:55 


12/05/09
68
Нижний Новгород
ewert в сообщении #216072 писал(а):
Но можно (при $a=0$) и гораздо вульгарнее: прибавить и вычесть к функции любую константу, после чего задача сводится к предыдущей.


блин, чё ж я сразу то не додумался... спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл + предел
Сообщение23.05.2009, 08:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Пожалуйста. А вообще я бы оформил доказательство (для произвольного $a$) так.

Обозначим

$M\equiv\sup\limits_{x\geqslant 0}|f(x)|, \qquad $\varepsilon(x)\equiv\sup\limits_{t\geqslant x}|f(t)-a|;$

тогда $\varepsilon(x)\to0$ при $x\to+\infty.$ Разобьём анализируемое выражение на три слагаемых:

$${1\over T}\int_0^Tf(x)dx=a+{1\over T}\int_0^{\sqrt T}(f(x)-a)dx+{1\over T}\int_{\sqrt T}^T(f(x)-a)dx.$$

Второе слагаемое оценивается по модулю величиной ${M+a\over\sqrt T},$ третье -- величиной $\varepsilon\left(\sqrt T\right),$ поэтому оба стремятся к нулю. Ч.т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group