Площадь, огр. кривой, полученной из другой кривой...

[bull_mipt]

Задали задачку.

Дана гладкая, выпуклая, замкнутая кривая, ограничивающая площадь $10\pi$.
Есть отрезок единичной длины, который "протаскивается по кривой", так что два его конца лежат на кривой. Середина отрезка описывает замкнутую кривую. Найти площадь, образованную этой кривой.

Интуитивно понятно, что считать по формуле Грина, но пока не очень получается.

[Полосин]

В полярных координатах: $2(r_1^2+r_2^2)=1+4r^2$, $S=\frac12\int_0^{2\pi}r^2d\varphi=10\pi-\pi/4=39\pi/4$.

[bull_mipt]

Все, кроме последней формулы не понятно.

[Brukvalub]

bull_mipt в сообщении #216332 писал(а):

Все, кроме последней формулы не понятно.

Вспомните формулу для длины медианы треугольника.

[gris]

Если в задаче не говориться о форме кривой, то можем предположить, что ответ от ней не зависит и считать кривульку окружностью радиуса $\sqrt{10}$. Середина отрезка длины 1 будет находиться на расстоянии $\sqrt{10-0.25}$ от центра окружности, а площадь внутри окружности, заметаемой cерединой отрезка, равна

$$9.75\pi= \frac {39\pi}4$$

.