посчитать интеграл без трюков

[Zo]

Здравствуйте, вопрос ради любопытства:

подскажите, пожалуйста, как подсчитать вот такой интеграл без трюков с введением параметра и последующим переходом к пределу под интегралом:

$$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}H(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$

где

$$H(\omega)=\left\{\begin{array}{rr}-j,&\omega\ge0\\j&\omega<0\end{array}\right.$$

Без трюков получается, что интеграл превращается в:

$$\frac{1}{\pi t}-2\lim\limits_{\omega\to\infty}\cos(\omega)$$

а с трюками:

$$\frac{1}{\pi t}$$

[Brukvalub]

Zo в сообщении #216085 писал(а):

Без трюков получается, что интеграл превращается в:

$$\frac{1}{\pi t}-2\lim\limits_{\omega\to\infty}\cos(\omega)$$

Покажите, как у Вас это получается, а то у меня такого не выходит.

[Zo]

Brukvalub в сообщении #216089 писал(а):

Zo в сообщении #216085 писал(а):
Без трюков получается, что интеграл превращается в:

$$\frac{1}{\pi t}-2\lim\limits_{\omega\to\infty}\cos(\omega)$$

Покажите, как у Вас это получается, а то у меня такого не выходит.

получается вот так:

$$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}H(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{0}je^{j\omega t}d\omega+\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{\infty}-je^{j\omega t}d\omega=$$$$=\lim\limits_{\omega\to\infty}\left[\frac{1}{2\pi t}(1-e^{-jt\omega})-\frac{1}{2\pi t}(e^{jt\omega}-1)\right]=\frac{1}{\pi t}-\frac{1}{\pi t}\lim\limits_{\omega\to\infty}\cos(\omega t)$$

чуток описался в первом посте.

[Brukvalub]

Вы лишь показали, что в обычном смысле данный интеграл рассматривать нельзя - он не сходится в рамках классического определения сходимости.

[Zo]

Zo в сообщении #216097 писал(а):

Вы лишь показали, что в обычном смысле данный интеграл рассматривать нельзя - он не сходится в рамках классического определения сходимости.

т.е. в любом случае нужны трюки с пределом по параметру, чтобы посчитать этот интеграл в неклассическом смысле и другого пути нет?

[Brukvalub]

Zo в сообщении #216105 писал(а):

т.е. в любом случае нужны трюки с пределом по параметру, чтобы посчитать этот интеграл в неклассическом смысле и другого пути нет?

Прежде, чем начинать трюкачить, нужно определиться, в каком смысле Вы понимаете этот интеграл - в смысле главного значения, либо как-то еще... А иначе зачем коленца выкидывать?

[Zo]

Zo в сообщении #216105 писал(а):

Zo в сообщении #216105 писал(а):
т.е. в любом случае нужны трюки с пределом по параметру, чтобы посчитать этот интеграл в неклассическом смысле и другого пути нет?
Прежде, чем начинать трюкачить, нужно определиться, в каком смысле Вы понимаете этот интеграл - в смысле главного значения, либо как-то еще... А иначе зачем коленца выкидывать?

Brukvalub, дело в том, что читаю инженерную книжку, там ни про какие главные значения речи не идет. А написано, что определить импульсную характеристику преобразователя Гильберта можно непосредственно используя обратное преобразование Фурье от указанной в первом посте $H(\omega)$ (что естественно). Сделать как написано у меня не получилось. Поэтому и интересуюсь, как это можно сделать. В другой инженерной книжке есть метод вычисления, но он основан на трюке с параметром, а не на непосредственном вычислении. Если здесь подскажут мне, как обойтись без трюков (через главные значения или не главные - не знаю - поэтому и обращаюсь с просьбой), буду очень благодарен. Любопытство будет удовлетворено Если без переходов к дополнительному вспомогательному пределу данный интеграл ни понимать, ни посчитать нельзя, то значит, автор первой книги слукавил.

[Brukvalub]

Zo в сообщении #216111 писал(а):

Brukvalub, дело в том, что читаю инженерную книжку, там ни про какие главные значения речи не идет. А написано, что определить импульсную характеристику преобразователя Гильберта можно непосредственно используя обратное преобразование Фурье от указанной в первом посте $H(\omega)$ (что естественно).

К сожалению, в инженерных науках я не специалит, но возможно, Вам поможет вот это: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0

[Zo]

Zo в сообщении #216111 писал(а):

возможно, Вам поможет вот это: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 1%82%D0%B0

там нет ответа на мой вопрос.

Brukvalub в сообщении #216118 писал(а):

К сожалению, в инженерных науках я не специалит

вопрос в первом посте не инженерный.

[Xaositect]

Zo в сообщении #216119 писал(а):

там нет ответа на мой вопрос.

Там написано, что интеграл должен считаться в смысле главного значения по Коши.

-- Пт май 22, 2009 11:14:22 --

$\mathrm{p.v.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim\limits_{a\to+\infty}\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx$

[Zo]

Xaositect в сообщении #216122 писал(а):

Там написано, что интеграл должен считаться в смысле главного значения по Коши.

Вы не могли мне подсказать как это применить к поставленной в первом посте задаче. Про главные значения в смысле Коши, к сожалению, упоминалось в курсе лекций один раз лет семь назад. Я не знаю с чего начать. К тому же, там не про тот интеграл, что в первом посте написано, что он в смысле Коши понимается.

-- Пт май 22, 2009 12:16:31 --

Zo в сообщении #216119 писал(а):

$\mathrm{p.v.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim\limits_{a\to+\infty}\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx$

так я этим и воспользовался в посте номер 3. но ничего не получилось

[Xaositect]

Ну определение я написал.
У вас будет
$\mathrm{p.v.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}H(\omega)e^{i\omega t} = \lim\limits_{a\to+\infty}(\int\limits_0^a ie^{i\omega t}dt + \int\limits_{-a}^0 -ie^{i\omega t}dt)$

-- Пт май 22, 2009 11:19:52 --

Zo в сообщении #216123 писал(а):

$\mathrm{p.v.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim\limits_{a\to+\infty}\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx$
так я этим и воспользовался в посте номер 3. но ничего не получилось

Нет.
Вы разложили интеграл на два.
А здесь надо брать одновременный предел.

[Zo]

Zo в сообщении #216123 писал(а):

Ну определение я написал.
У вас будет
$\mathrm{p.v.}\int\limits_{-infty}^{+infty}H(\omega)e^{i\omega t} = \lim\limits_{a\to\infty}(\int\limits_0^a ie^{i\omega t}dt + \int\limits_{-a}^0 -ie^{i\omega t}dt)$

я сделал это в посте номер 3.

[Xaositect]

В посте 3 Вы сделали $\lim\limits_{a\to+\infty}\int\limits_0^a ie^{i\omega t}dt + \lim\limits_{b\to-\infty}\int\limits_{b}^0 -ie^{i\omega t}dt$

[Zo]

Xaositect в сообщении #216125 писал(а):

Zo в сообщении #216123 писал(а):
$\mathrm{p.v.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim\limits_{a\to+\infty}\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx$
так я этим и воспользовался в посте номер 3. но ничего не получилось
Нет.
Вы разложили интеграл на два.
А здесь надо брать одновременный предел.

извините, не понимаю, Вы не могли бы подробнее написать -потому что разве это

$$\lim\limits_{\omega\to\infty}\left[\frac{1}{2\pi t}(1-e^{-jt\omega})-\frac{1}{2\pi t}(e^{jt\omega}-1)\right]=\frac{1}{\pi t}-\frac{1}{\pi t}\lim\limits_{\omega\to\infty}\cos(\omega t)$$

не то же самое о чем Вы пишите?