сумма строк!

[daogiauvang]

Сменить буква от a до p числами от 1 до 16 удовлетворяющие условиям: каждое число появляется один раз и суммы чисел каждой строки равны .

Каковы значения суммы чисел по строке???

[ddn]

daogiauvang писал(а):

Сменить буква от a до p числами от 1 до 16 удовлетворяющие условиям: каждое число появляется один раз и суммы чисел каждой строки равны .

Каковы значения суммы чисел по строке???

Имеем:
$N_1=8$ чисел 1-го вида, присутствует в $k_{1,1}=1$ строках 1-го и в $k_{1,2}=1$ суммах 2-го вида (пусть сумма этих чисел $S_1=a+...+h$),
$N_2=4$ чисел 2-го вида, присутствует в $k_{2,1}=2$ строках 1-го и в $k_{2,2}=0$ суммах 2-го вида (пусть сумма этих чисел $S_2=i+...+l$) и
$N_3=4$ чисел 3-го вида, присутствует в $k_{3,1}=1$ строках 1-го и в $k_{3,2}=2$ суммах 2-го вида (пусть сумма этих чисел $S_3=m+...+p$).
Всего чисел по схеме $N=N_1+N_2+N_3=16$.
Общая сумма всех чисел по условию $S=S_1+S_2+S_3=\frac{N(N+1)}{2}=136$.

Cумма строки 1-го вида состоит из $m_{1,1}=2$-х чисел 1-го, $m_{1,2}=2$-х чисел 2-го и $m_{1,3}=1$-го числа 3-го вида и равна $V_1$, а
сумма строки 2-го вида состоит из $m_{2,1}=2$-х чисел 1-го, $m_{2,2}=0$ чисел 2-го и $m_{2,3}=2$ числа 3-го вида и равна $V_2$.
По условию суммы строк всех видов равны: $V_1=V_2$.

Всего имеется $u_1=4$ строки 1-го вида и $u_2=4$ строки 2-го вида.
Сумма всех сумм строк 1-го вида состоит из $M_{1,1}=u_1m_{1,1}=8$-х чисел 1-го, $M_{1,2}=u_1m_{1,2}=8$-х чисел 2-го и $M_{1,3}=u_1m_{1,3}=4$-го числа 3-го вида и равна $u_1V_1$ - причем, числа одного вида встречаются в ней одинаковое число раз (в силу транзитивной симметрии схемы), а именно, числа $i$-го вида $\frac{M_{1,i}}{N_i}=k_{i,1}$ и, значит $u_1V_1=S_1k_{1,1}+S_2k_{2,1}+S_3k_{3,1}$.
Сумма всех сумм строк 2-го вида состоит из $M_{2,1}=u_2m_{2,1}=8$-х чисел 1-го, $M_{2,2}=u_2m_{2,2}=0$-х чисел 2-го и $M_{2,3}=u_2m_{2,3}=8$-го числа 3-го вида и равна $u_2V_2$ - причем, числа одного вида встречаются в ней одинаковое число раз, а именно, числа $i$-вида $\frac{M_{2,i}}{N_i}=k_{i,2}$ и, значит $u_2V_2=S_2k_{1,2}+S_2k_{2,2}+S_3k_{3,2}$.

Система структурных уравнений:
$\left\{\begin{array}{cccc}S_1+S_2+S_3=S&1\\S_1k_{1,1}+S_2k_{2,1}+S_3k_{3,1}=u_1V_1&2\\S_1k_{1,2}+S_2k_{2,2}+S_3k_{3,2}=u_2V_2&3\\V_1=V_2&4\end{array}$
или
$\left\{\begin{array}{cccc}S_1+S_2+S_3=136&1\\S_1+2S_2+S_3=4V_1&2\\S_1+0S_2+2S_3=4V_2&3\\V_1=V_2&4\end{array}$.

Итак, соображения симметрии приводят к 4-ем уравнениям от пяти неизвестных $S_1$, $S_2$, $S_3$, $V_1$, $V_2$.
Решения можно выразить через одну из неизвестных величин, например, сумму строки $V$:

$\left\{\begin{array}{cccc}S_1=544-12V\\S_2=-136+4V\\S_3=-272+8V\\V_1=V_2=V\end{array}$.

Большего, увы, нам не дано.

Добавлено спустя 1 час 10 минут 11 секунд:

Наверно, нужно искать ограничения на $V$, исходя из данного набора чисел $a$..$p$.

Очень грубая оценка:
Максимальная сумма из 4-х чисел 2-го и 3-го вида равна $13+14+15+16=58$, а минимальная $1+2+3+4=10$, откуда
$10\leqslant S_2,S_3\leqslant 58$.
Сумма каждой из двух непересекающихся строк 1-го вида (по 5 элементов) не превышает $[(7+8+9+10+11+12+13+14+15+16)/2]=57$,
и не меньше $[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/2]_+=28$, откуда
$28\leqslant V\leqslant 57$.
Максимальная сумма из 8-х чисел 1-го вида равна $9+10+11+12+13+14+15+16=100$, а минимальная $1+2+3+4+5+6+7+8=36$, откуда
$36\leqslant S_1\leqslant 100$.

$\left\{\begin{array}{ccc}36..100=544-12(28..57)\\10..58=-136+4(28..57)\\10..58=-272+8(28..57)\end{array}$
или
$\left\{\begin{array}{ccc}36..100=-140..208\\10..58=-24.. 92\\10..58=-48.. 184\end{array}$
(везде сужается оценка для $V$) или
$\left\{\begin{array}{ccc}36..100\\10..58\\10..58\end{array}$
или
$\left\{\begin{array}{ccc}544-12V=36..100\\-136+4V=10..58\\-272+8V=10..58\end{array}$
или
$\left\{\begin{array}{ccc}V=37..\frac{127}{3}\\V=\frac{73}{2}..\frac{97}{2}\\V=\frac{141}{4}..\frac{165}{4}\end{array}$.

Так как $\max(37,\frac{73}{2},\frac{141}{4})=37$ и $\min(\frac{127}{3},\frac{97}{2},\frac{165}{4})=\frac{127}{3}=41.25$, то заключаем, что $37\leqslant V\leqslant 41$.

Больше времени нет думать.

[Профессор Снэйп]

Тупой перебор требует $16! = 20922789888000 \approx 2 \cdot 10^{13}$ вариантов. На компутере вполне решабельно. Особенно если устроить перебор более-менее разумным способом, так, чтобы сразу отсекать заведомо неприемлемые варианты.

[daogiauvang]

Ну да $ 37 \leq V \leq 41$...но это просто ограничение.
Нам надо доказать эти значения $V$ все возможны, чтобы каждое число появляется один раз и суммы чисел каждой строки равны .

[worm2]

Ну, перебор можно очень сильно подсократить, пользуясь соотношениями, выписанными ddn.

Кстати, там $S_1$ ещё можно разбить на 2 части: $\{a, b, e, f\}$ и $\{c, d, g, h\}$, например. Можно показать, что сумма чисел в каждой части равна $272-6V$. $S_3$ можно тоже разбить на 2 части: $m+o=n+p=4V-136$. Кроме того, есть простые соотношения $a+e=c+g$, $b+f=d+h$.
Если голова не пойдёт кругом от множества подобных соотношений, можно выделить из них наиболее выгодные для организации перебора.

[Профессор Снэйп]

Эх, было бы время, надельфил бы быстренько энтот самый перебор...

[hurtsy]

Профессор Снэйп в сообщении #203412 писал(а):

Эх, было бы время, надельфил бы быстренько энтот самый перебор...

Вы правы, что не беретесь за дельфу.

Я попробовал, используя обозначения ddn,

составить системку

$\left\{\begin{array}{cccc}S_1+S_2+S_3=136\\8V-S_2 =272\\4V-S_2+S_3=136\\4V+S_2-S_3=136\end{array}$

Решение этой системы $V=34$, $S_1=136$, $S_2=0$, $S_3=0$.

Суммы по линиям равны 34, но требуемой расстановки чисел не существует.
Если у автора темы daogiauvang имеются примеры нужных расстановок, это будет стопроцентным опровержением моих рассуждений.

С уважением,

[worm2]

ddn же уже получил оценку $37\leqslant V\leqslant 41$. Поэтому немудрено, что расстановки чисел с $V=34$ не существует.

[hurtsy]

worm2 в сообщении #204760 писал(а):

ddn же уже получил оценку . Поэтому немудрено, что расстановки чисел с не существует.

Оценки ddn справедливы а)при условии, что решение существует, б)в выкладках отсутствуют "неточности". Согласитесь, проверка выкладок и просмотр выкладок -"это две разные задачи".
Если система откуда получено $V=34$ составлена и решена правильно, то оценки ddn- неверны. Поэтому я и обратился к автору задачи с посьбой предъявить хоть одну расстановку.С уважением,

[covax]

Перебором.

$$\begin{array}{ccccccc} & & 1 & & 2 & & \\ & & & 10 & & & \\ 5 & &13 & & 16& & 6 \\ & 3 & & & & 4 & \\ 12 & & 11 & & 8 & & 9 \\ & & & 7 & & & \\ & & 15 & & 14 & & \\ \end{array}$$

[hurtsy]

covax в сообщении #204797 писал(а):

Перебором.

Большое спасибо. Теперь уже нашел ошибку.


$\left\{\begin{array}{cccc}S_1+S_2+S_3=136\\8V-S_3 =272\\4V+S_2-S_3=136\\4V-S_2=136\end{array}$

Матрица имеет ранг - 3.
Решение этой системы $S_1=544-12V$, $S_2=4V-136$, $S_3=8V-272 $.
Это подтверждает правоту ddn. С уважением.

[worm2]

М-дя, ничто так не проясняет теоретические построения, как предъявление решения

я в сообщении #203398 писал(а):

$S_3$ можно тоже разбить на 2 части: $m+o=n+p=4V-136$.

легким движением руки превращается в: "$S_3$ не разбивается, но можно выписать соотношения $b+m+o+f+g+c=a+n+p+e+d+h=136-2V$".

я писал(а):

Кроме того, есть простые соотношения $a+e=c+g$, $b+f=d+h$

Вообще исчезают

[hurtsy]

daogiauvang в сообщении #203387 писал(а):

Ну да ...но это просто ограничение.

Для V=40,пример привел аватар covax.

Вот пример для V=37,

$$\begin{array}{ccccccc} & & 10 & & 11 & & \\ & & & 6 & & & \\ 9 & & 5 & & 7 & & 16 \\ & 3 & & & & 1 & \\ 12 & & 8 & & 4 & & 13 \\ & & & 2 & & & \\ & & 14 & & 15 & &\end{array}$$

Все тот же могучий перебор .

Может кто нибудь найдет для 38, 39, 41 без перебора. Хотя перебор, в данной теме, тоже будет доказательством. С уважением,

[daogiauvang]

hurtsy в сообщении #214938 писал(а):

daogiauvang в сообщении #203387 писал(а):

Ну да ...но это просто ограничение.

Для V=40,пример привел аватар covax.

Вот пример для V=37,

$$\begin{array}{ccccccc} & & 10 & & 11 & & \\ & & & 6 & & & \\ 9 & & 5 & & 7 & & 16 \\ & 3 & & & & 1 & \\ 12 & & 8 & & 4 & & 13 \\ & & & 2 & & & \\ & & 14 & & 15 & &\end{array}$$

Все тот же могучий перебор .

Может кто нибудь найдет для 38, 39, 41 без перебора. Хотя перебор, в данной теме, тоже будет доказательством. С уважением,

Вот это

[hurtsy]

daogiauvang в сообщении #215442 писал(а):

Вот это

Спасибо. Опишите пожалуйста, я думаю у Вас имеется такая информация, происхождение и историю этой задачи.
С уважением,