Метрика Канберра

[ihar]

Здравствуйте.

Не могу доказать, что для функции, заданной формулой
\rho(X,Z) = \sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-z_i|}{x_i+z_i}, x_i>0, z_i>0
выполняется неравенство треугольника.

Я застрял на переходе к двум слагаемым:

\sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-z_i|}{x_i+z_i} \leq \sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-y_i|}{x_i+z_i} + \sum\limits_{i=1}^N\frac{|y_i-z_i|}{x_i+z_i}

Преобразовать неравенства дальше не получается. Вероятно, с самого начала делаю что-то не так.
Помогите, пожалуйста, идеями.

Спасибо.

[Посторонний]

для N = 1 не пробовали доказать?

добавлено:
получится что-то вроде разложения метрики на сумму
функций, если каждая из них метрика, то и их сумма будет метрикой

[ihar]

Спасибо за подсказку, буду думать.

[Посторонний]

не сумма известных метрик,
а метрики типа той, что получается при N = 1,
а для N = 1 надо доказать сначала

[ihar]

Что-то слетает ТеХ-парсер для дробей, напишу текстом
Вы имели в виду такую следующую последовательность неравенств?
|x_1-z_1|/(x_1+z_1) <= |x_1-y_1|/(x_1+z_1) + |y_1-z_1|/(x_1+z_1)
Домножаем на x_1+z_1>0:
|x_1-z_1| \leq |x_1-y_1|+ |y_1-z_1|

[Посторонний]

ihar писал(а):

Что-то слетает ТеХ-парсер для дробей, напишу текстом
Вы имели в виду такую следующую последовательность неравенств?
|x_1-z_1|/(x_1+z_1) <= |x_1-y_1|/(x_1+z_1) + |y_1-z_1|/(x_1+z_1)
Домножаем на x_1+z_1>0:
|x_1-z_1| \leq |x_1-y_1|+ |y_1-z_1|

ну да
только я ничего в виду не имел, я наугад сказал
а дальше сумма метрик
сам не ожидал, что так просто получится, нет ли тут ошибки?

[ihar]

Есть ошибка
В своём последнем посте я "доказал" то, что и раньше было известно. Вообще-то, знаменатели у дробей разные.
Должно быть так:
|x_1-z_1|/(x_1+z_1) <= |x_1-y_1|/(x_1+y_1) + |y_1-z_1|/(y_1+z_1)

[Brukvalub]

ihar в сообщении #210858 писал(а):

Я застрял на переходе к двум слагаемым:

\sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-z_i|}{x_i+z_i} \leq \sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-y_i|}{x_i+z_i} + \sum\limits_{i=1}^N\frac{|y_i-z_i|}{x_i+z_i}

знаменатель второго слагаемого справа - неверен.

[ihar]

Brukvalub писал(а):

ihar в сообщении #210858 писал(а):

Я застрял на переходе к двум слагаемым:
\sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-z_i|}{x_i+z_i} \leq \sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-y_i|}{x_i+z_i} + \sum\limits_{i=1}^N\frac{|y_i-z_i|}{x_i+z_i}

знаменатель второго слагаемого справа - неверен.

Почему?

\sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-z_i|}{x_i+z_i} = \sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-y_i+y_i-z_i|}{x_i+z_i} \leq \sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-y_i|+|y_i-z_i|}{x_i+z_i} = \sum\limits_{i=1}^N\left(\frac{|x_i-y_i|}{x_i+z_i} + \frac{|y_i-z_i|}{x_i+z_i} \right)= \sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-y_i|}{x_i+z_i} + \sum\limits_{i=1}^N\frac{|y_i-z_i|}{x_i+z_i}

[Посторонний]

ihar писал(а):

Brukvalub писал(а):

ihar в сообщении #210858 писал(а):

Я застрял на переходе к двум слагаемым:
\sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-z_i|}{x_i+z_i} \leq \sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-y_i|}{x_i+z_i} + \sum\limits_{i=1}^N\frac{|y_i-z_i|}{x_i+z_i}

знаменатель второго слагаемого справа - неверен.

Почему?

потому что метрика задается формулой
\rho(X,Z) = \sum\limits_{i=1}^N\frac{|x_i-z_i|}{x_i+z_i}, x_i>0, z_i>0

неравенство треугольника записывается
\rho(X,Z) \leq \rho(X,Y) +\rho(Y,Z)

подставить надо просто формулы для метрики

[Brukvalub]

ihar в сообщении #210905 писал(а):

Почему?

В своем сообщении я сказал, что в неравенстве треугольника для данной метрики правая часть должна выглядеть иначе.
Если же Вы излагали Ваше начало доказательства неравенства треугольника для данной метрики, то мне выбранный Вами путь кажется неудачным.
Но я могу и ошибаться....

[ihar]

Вероятно, я недостаточно внятно с самого начала написал, прошу прощения.
Это неравенство, которое якобы с ошибкой - это то, до чего я смог додуматься. Как довести его до нужного неравенства треугольника, я пока не знаю.

Какой путь, с вашей точки зрения, был бы более подходящим?