Полиномы с коэффициентом

[Мат]

В соответствии с приведенной теоремой раскладываются приведенные полиномы как Nilenbert так и Коровьева (можете проверить).
Но наибольший интерес у меня вызвал полином:
$3^{37}+5\cdot2^{37}\div(11\cdot13\cdot23\cdot29)$. Т.е. имеет целых 4! множителя, меньших $37$. Так вот:
$(3+5\cdot2)\div13$
$(3+5^3\cdot2)\div11\cdot23$
$(5^3\cdot3+2)\div29$

[Nilenbert]

Мат писал(а):

Теорема:
Всякий множитель любого полинома с коэффициентом при $n>2$ - простое. Является простым числом большим $n$. Т.е. никакой полином с коэффициентом

$$x^n+ky^n$$

не может иметь простых множителей, меньших $n$.
Либо на него делится одна из форм:
1.$x+ky$, $x+k^2y$,..., $x+k^py$ и т.д., где $p<log_2n$
2.$kx+y$, $k^2x+y$,..., $k^px+y$ и т.д., где $p<log_2n$

Т.е. никакой полином с коэффициентом $x^n+ky^n$ не может иметь простых множителей, меньших $n$, если на него не делится ни одна из указанных форм.

Ну что же, раунд №2.
$2^{100}+2\cdot 3^{100}$ делится на $59$.В тоже время $n=100\Rightarrow p<6.64=\log_2 100$.
Но ни одно из чисел:

$$ 2+2\cdot 3 =8; 2+2^2\cdot 3 =14; 2+2^3\cdot 3 =26; 2+2^4\cdot 3 =50; 2+2^5\cdot 3 =98; 2+2^6\cdot 3 =196; 2\cdot 2+ 3 =7; 2^2\cdot 2+ 3 =11; 2^3\cdot 2+ 3 =19; 2^4\cdot 2+ 3 =35; 2^5\cdot 2+ 3 =67; 2^6\cdot 2+ 3 =131; $$

на 59 не делится

[Мат]

Nilenbert
Вы нарушили два условия:
Во-первых, $n$ должно быть простое, а вы взяли $100=2^2\cdot5^2$
Во-вторых, у вас $k=x$, т.е. используется $x^n+xy^n$. Но это не столь важно.
В силу нарушения первого условия срабатывает одно важное ограничение, а именно, $p$ может быть больше $log_2n$.
Кроме того, из-за того, что $100$ - число четное срабатывает еще одно ограничение: искомая форма должна быть квадратичной, т.е. число $59$ нельзя представить формами $2+2^k\cdot3$ или $3+2^k\cdot2$, а можно лишь формами $2^2+2^k\cdot3^2$ или $3^2+2^k\cdot2^2$.
Для вашего примера искомой формой явлется форма:
$(3^2+2^{11}\cdot2^2)=59\cdot139$

И вообще для любого примера найдется соответствующая форма.

[Виктор Ширшов]

[quote="Мат"]Многим из нас, кто интересуется теорией чисел, хорошо известны свойства полиномов

$$x^n+y^n$$

quote]
Не все. Для $x^3+y^3$ я установил такую закономерность.
1. Если $y-x$=1, то $x^3+y^3$ = $(x+y)\cdot [(xy)+1^2]$
2. Если $y-x$=2, то $x^3+y^3$ = $(x+y)\cdot [(xy)+2^2]$
3. Если $y-x$=3, то $x^3+y^3$ = $(x+y)\cdot [(xy)+3^2]$
4. Если $y-x$=4, то $x^3+y^3$ = $(x+y)\cdot [(xy)+4^2]$
и так далее.
Очевидно, существует какие-то закономерности и для других степеней бинома $x^n+y^n$

[gris]

Ув Виктор Ширшов, мне кажется, в Ваших формулах степень при числе должна быть всё время вторая, то есть

1. Если $y-x$=1, то $x^3+y^3$ = $(x+y)\cdot [(xy)+1^2]$
2. Если $y-x$=2, то $x^3+y^3$ = $(x+y)\cdot [(xy)+2^2]$
3. Если $y-x$=3, то $x^3+y^3$ = $(x+y)\cdot [(xy)+3^2]$
4. Если $y-x$=4, то $x^3+y^3$ = $(x+y)\cdot [(xy)+4^2]$
и так далее.
Я проверил до $n=2009$, всё сходится. проверяю дальше.

[Xaositect]

А что тут проверять-то?
$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)(xy + (x-y)^2)$

[Мат]

Виктор Ширшов
Xaositect прав. Вы действительно обнаружили давно известную формулу. Но сам факт, что вы начали постигать тайны теории чисел уже сам со себе много значит.

Для других степеней бинома таких закономерностей не существует. Например, для $5$-х степеней
$x^5+y^5=(x+y)((x-y)^4+3(x-y)^2xy+x^2y^2)$, т.е. полином представляет собой уже сложный функционал от $(x-y)$ и $xy$:
$P=F(x-y,xy)$
Кроме того, любой полином $x^n+y^n$ может быть представлен как функционал от $(x-y)$ и $xy$:
$x^n+y^n=(x+y)F(x-y,xy)$
или функционал от $(x+y)$ и $xy$, что еще интереснее:
$x^n+y^n=F(x+y,xy)=(x+y)^n-nxy\alpha$, где $\alpha$ - некоторый коэффициент, свойства которого слабо изучены.

[Виктор Ширшов]

Мат в сообщении #209961 писал(а):

Виктор Ширшов
Xaositect прав. Вы действительно обнаружили давно известную формулу. Но сам факт, что вы начали постигать тайны теории чисел уже сам со себе много значит.

Теорией чисел я не интересуюсь. Просто обратил внимание на пример $5^3+6^3=341$. Ваш ответ был следующим:
ЛИЛЯ: $341=11\cdot31$. Здесь первый множитель$11=5+6$, а второй $(5\cdot6)+1$.
Всё остальное получилось в результате проверки на других примерах

[Мат]

Виктор Ширшов
Понятно. А я бы сам и не додумался. Видел, а не увидел. Ну да ладно. Сколько ни продолжаю заниматься математикой (уже 15 лет), а все никак не могу перестать удивляться.

[Виктор Ширшов]

gris в сообщении #209951 писал(а):

Ув Виктор Ширшов, мне кажется, в Ваших формулах степень при числе должна быть всё время вторая,

Вы правы.

Добавлено спустя 40 минут 20 секунд:

Xaositect в сообщении #209958 писал(а):

А что тут проверять-то?

Нашёл у Petern1: 4) $a^n+b^n= (a+b)[a^n^-^1-a^n^-^2b...+b^n^-^1]$. n---простое =3 и более
Может быть, заодно приведённым способом проверите и это равенство и найдёте другие известные закономерности.

[gris]

Xaositect думал, что я такой тупой, что проверял на калькуляторе.
Вот и нет. Я написал программу

loop(n:1,1,1000000){loop(k:1,1,1000000)
{ifnot(diff(sum(cubed(n),cubed(sum(n,k))),
prod(sum(n,sum(n,k))sum(prod(n,sum(n,k)),
squared(k)))),0,alarm(n,k))}}

за три часа не выявлено нарушений формулы. Надеюсь, к вечеру завершится.
тогда буду и Вашу проверять.

[Xaositect]

gris писал(а):

Xaositect думал, что я такой тупой, что проверял на калькуляторе.
Вот и нет. Я написал программу

А надо всего-то формулы сокращенного умножения вспомнить.

А если уж очень хочется программу, то надо так:

(%i6) x^3 + y^3 = (x + y)*(x*y + (x-y)^2);
                       3    3                         2
(%o6)                 y  + x  = (y + x) (x y + (x - y) )
(%i7) expand(%);
                                3    3    3    3
(%o7)                          y  + x  = y  + x

[gris]

Ну конечно, с символьной математикой любой сможет. а у меня на компе только BIOS стоит

Nilenbert, когдаж вы сократите свою длинючую формулу. не у всех мониторы 9:16

[Виктор Ширшов]

Виктор Ширшов в сообщении #209950 писал(а):

Очевидно, существует какие-то закономерности и для других степеней бинома

Например, для шестой.
1. Если $y-x=1$, то $x^6+y^6=(x^2+y^2)[(xy)^2+(x+y)^2]$
2. Если $y-x=2$, то $x^6+y^6=(x^2+y^2)[(xy)^2+2^2(x+y)^2]$
3. Если $y-x=3$, то$x^6+y^6=(x^2+y^2)[(xy)^2+3^2(x+y)^2]$
4.Если $y-x=4$, то $x^6+y^6=(x^2+y^2)[(xy)^2+4^2(x+y)^2]$.
От таких закономерностей практическая польза нулевая. Если только заниматься их выявлением в порядке умствования.

[Виктор Ширшов]

Мат в сообщении #209988 писал(а):

Виктор Ширшов
Понятно. А я бы сам и не додумался. Видел, а не увидел. Ну да ладно. Сколько ни продолжаю заниматься математикой (уже 15 лет), а все никак не могу перестать удивляться.

"Зри в корень!", - советовал Козьма Прутков. Я добавил бы к этому ещё "Концентрируй внимание, а потом напрягай ум!"
Ув. Мат! Всегда смотрите, помня это правило. Больше узнаете. Если бы Вы следовали этому правилу, из представленных мною столбцов, могли бы вывести общие закономерности для 3-ей и 6-ой степеней.
1. $x^3+y^3=(x+y)\cdot(xy+k^2)$
2. $x^6+y^6=(x^2+y^2)\cdot[(xy)^2+k^2(x+y)^2]$ где k - разность между $x$ и $y$