Как взять интеграл?

[La|Verd]

1) $\int \frac {x^2+2x+1} {(x-2)(x^2-1)^2} dx$
2) $\int \frac {\sqrt[3]{x}} {\sqrt[4]{x}-4} dx$

1-ое довел до вида $\int \frac {1} {(x-2)(x-1)^2} dx$, а вот что делать дальше - не знаю. Со вторым - аналогичная ситуация. Получил $\int \frac {1} {x^-{\frac {1} {12}} -4x^-{\frac {1} {3}}} dx$. Не могу понять, как дальше работать с такими дробями.

[gris]

В первом интеграле разложите дробь на простейшие,
Во втором сделайте замену, чтобы избавится от всех корней.

[La|Verd]

Что-то совсем не соображаю... Как первый интеграл разложить на еще более простые дроби? Я и так вроде бы уже упростил дальше некуда...
Помнится, тут какие-то замены нужно провести, но как?..

[RIP]

La|Verd в сообщении #208953 писал(а):

Как первый интеграл разложить на еще более простые дроби? Я и так вроде бы уже упростил дальше некуда...

Есть куда. См., например, тут
http://de.ifmo.ru/bk_netra/page.php?ind ... utindex=21

[La|Verd]

С первым получается как-то так: http://dreval.net/files/math/img184.jpg
А вот со вторым так и не смог разобраться. Делал замены, но что с ними делать дальше - не пойму.

[Хорхе]

La|Verd писал(а):

А вот со вторым так и не смог разобраться. Делал замены, но что с ними делать дальше - не пойму.

Хоть напишите, какие замены делали.

[citadeldimon]

Во втором можно сделать замену $x=t^{12}$ и освободится от корней. Потом поделить числитель на знаменатель в столбик и тогда думаю можно все проинтегрировать.

Может Вы ошиблись в условии, ответ совсем не маленький, хотя и технически не сложно находится

[La|Verd]

Во втором пытался сделать следующее:
$\int \frac {\sqrt[3]{x}} {\sqrt[4]{x}-4} dx$ = $\int \frac {1} {\frac {\sqrt[4]{x}} {\sqrt[3]{x}}-\frac {4} {\sqrt[3]{x}}} dx$ = $\int \frac {1} {x^{-\frac {1} {12}}-4x^{-\frac {1} {3}}} dx$.
Заменяем $x^{-\frac {1} {12}}=t$$\Rightarrow x=t^{-12}$, $dx=-12t^{-13}dt$.
Тогда нужно найти интеграл $\int \frac {-12t^{-13}dt} {t-4t^4}$ = $-12\int \frac {dt} {-4t^{17}+t^{14}}$.

Или лучше было все же работать с начальным выражением? Честно говоря, не могу понять, упростил я выражение или наоборот, усложнил

[gris]

Заменяем $x^{\frac {1} {12}}=t$

[ewert]

La|Verd в сообщении #209904 писал(а):

не могу понять, упростил я выражение или наоборот, усложнил

Усложнил. Не нужно суетиться. Делайте ту замену, которая напрашивается -- с положительной степенью. Минус первую степень никогда не поздно добавить (если понадобится).

[ИСН]

Отрицаю. Всё равно это упрощение, потому что получилась рациональная функция, а дальше тривиально. Хотя да, с положительной степенью оно как-то лучше.