Операции на ординалах и на линейных порядках

[Профессор Снэйп]

Для двух линейно упорядоченных множеств $\mathcal{L}_1 = \langle L_1, \leqslant_1 \rangle$, $\mathcal{L}_2 = \langle L_2, \leqslant_2 \rangle$ можно определить их сумму и произведение.

1) $\mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2 = \langle L_+, \leqslant_+ \rangle$, где $L_+ = (\{ 0 \} \times L_1) \cup (\{ 1 \} \times L_2)$ и для $\langle \varepsilon, x \rangle, \langle \delta, y \rangle \in L_+$ неравенство $\langle \varepsilon, x \rangle \leqslant_+ \langle \delta, y \rangle$ имеет место тогда и только тогда, когда либо $(\varepsilon = 0) \mathop{\&} (\delta = 1)$, либо $(\varepsilon = \delta = 0) \mathop{\&} (x \leqslant_1 y)$, либо $(\varepsilon = \delta = 1) \mathop{\&} (x \leqslant_2 y)$.

2) $\mathcal{L}_1 \cdot \mathcal{L}_2 = \langle L_1 \times L_2, \leqslant_\times \rangle$, где для $\langle x_1, x_2 \rangle, \langle y_1, y_2 \rangle \in L_1 \times L_2$ справедливо $\langle x_1, x_2 \rangle \leqslant_\times \langle y_1, y_2 \rangle \Leftrightarrow \big(x_2 <_2 y_2\big) \vee \big((x_2 = y_2 ) \mathop{\&} (x_1 \leqslant_1 y_1)\big)$.

Короче, обычные сумма и произведение линейных порядков, много где встречающиеся (как правило, их определяют с точностью до изоморфизма).

Вот что ещё можно заметить. Если множества $\mathcal{L}_1$ и $\mathcal{L}_2$ вполне упорядочены, порядковый тип $\mathcal{L}_1$ равен ординалу $\alpha$, а порядковый тип $\mathcal{L}_2$ равен ординалу $\beta$, то множества $\mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2$ и $\mathcal{L}_1 \cdot \mathcal{L}_2$ также будут вполне упорядочены и их порядковые типы будут равны $\alpha + \beta$ и $\alpha \cdot \beta$ соответственно. Это наблюдение можно даже использовать для того, чтобы дать альтернативные (отличные от традиционных индуктивных) определения суммы и произведения ординалов.

А вот можно ли в том же духе определить операцию возведения ординалов в степень? Другими словами, есть ли конструкция, сопоставляющая линейным порядкам $\mathcal{L}_1$ и $\mathcal{L}_2$ линейный порядок $\mathcal{L}_1^{\mathcal{L}_2}$, причём такая, что если $\mathcal{L}_1$, $\mathcal{L}_2$ вполне упорядочены и имеют порядковые типы $\alpha$ и $\beta$ соответственно, то множество $\mathcal{L}_1^{\mathcal{L}_2}$ также должно быть вполне упорядочено и иметь порядковый тип $\alpha^\beta$? В частности, что надо сделать с двумя копиями натурального ряда, чтобы получился порядок по типу $\omega^\omega$?

Задача навеяна обсуждениями на пятой-шестой страницах этой темы.

[Дима Тишков]

Надо взять множество функций из $\mathcal L_2$ в $\mathcal L_1$ с конечным носителем. Эта конструкция даже рассматривается в курсе Верещагина и Шеня.

Цитата:

Пусть $A$ и $B$ - вполне упорядоченные множества, имеющие порядковые типы $\alpha$ и $\beta$. Рассмотрим множество $[B\to A]$ состоящее из отображений $B$ в $A$, имеющих "конечный носитель" (равных минимальному элементу $A$ всюду, за исключением конечного множества). Введём на $[B\to A]$ порядок: если $f_1\neq f_2$, выберем наибольший элемент $b\in B$, для которого $f_1(b)\neq f_2(b)$ и сравним $f_1(b)$ и $f_2(b)$.
Теорема 40. Указанное правило задаёт полный порядок на множестве $[B\to A]$ и порядковый тип этого множества есть $\alpha^\beta$.

[Профессор Снэйп]

Понятно. А что тогда, например, будут получаться за порядки в случае $\mathbb{Q}^\mathbb{Q}$ или $\mathbb{Z}^\mathbb{Z}$?

[Dandan]

Смотря какие линейные порядки у вас в $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Z}$. С естественными порядками они не вполне упорядочены, а без этого та конструкция степени не работает.

[Дима Тишков]

То есть задача - придумать обобщение для возведения в степень ординалов, применимое к любым порядковым типам?

[Профессор Снэйп]

Дима Тишков писал(а):

То есть задача - придумать обобщение для возведения в степень ординалов, применимое к любым порядковым типам?

Да, задача именно такова.

[lofar]

Насколько я понимаю, конструкция степени для ординалов использует только линейность обоих порядков и наличие минимального элемента в $\mathcal{L}_1$. Если в $\mathcal{L}_1$ минимального нет, то перейдем к $1+\mathcal{L}_1$.

[Профессор Снэйп]

lofar писал(а):

Насколько я понимаю, конструкция степени для ординалов использует только линейность обоих порядков и наличие минимального элемента в $\mathcal{L}_1$. Если в $\mathcal{L}_1$ минимального нет, то перейдем к $1+\mathcal{L}_1$.

Думал о таком подходе. Но что-то дискриминация порядков без наименьшего элемента не нравится.