Для двух линейно упорядоченных множеств

,

можно определить их сумму и произведение.
1)

, где

и для

неравенство

имеет место тогда и только тогда, когда либо

, либо

, либо

.
2)

, где для

справедливо

.
Короче, обычные сумма и произведение линейных порядков, много где встречающиеся (как правило, их определяют с точностью до изоморфизма).
Вот что ещё можно заметить. Если множества

и

вполне упорядочены, порядковый тип

равен ординалу

, а порядковый тип

равен ординалу

, то множества

и

также будут вполне упорядочены и их порядковые типы будут равны

и

соответственно. Это наблюдение можно даже использовать для того, чтобы дать альтернативные (отличные от традиционных индуктивных) определения суммы и произведения ординалов.
А вот можно ли в том же духе определить операцию возведения ординалов в степень? Другими словами, есть ли конструкция, сопоставляющая линейным порядкам

и

линейный порядок

, причём такая, что если

,

вполне упорядочены и имеют порядковые типы

и

соответственно, то множество

также должно быть вполне упорядочено и иметь порядковый тип

? В частности, что надо сделать с двумя копиями натурального ряда, чтобы получился порядок по типу

?
Задача навеяна обсуждениями на пятой-шестой страницах
этой темы.