Задачки По дифференциальным Уравнениям =)

[Sintanial]

1)Показать, что каждая интегральная кривая уравнения $\ y'=\sqrt[3]{\frac {y^2+1}{x^4+1}}$ имеет две горизонтальные асимптоты
2) Исследовать поведение интегральных кривых уравнения $\ y'=\sqrt[3]{\frac {ln(y+1)}{sin(x)}}$ в окрестности начала координат. Показать, что из каждой точки границы первого координатного угла выходит одна интегральная кривая, проходящая внутри этого угла.

З.ы.Подскажите плиз как решить. Хотя это и не домашнее задание, но просто очень интересно , а идей нету.

На счет первого я так подумал раз горизантальные ассимптоты то нужно решить дифф. ур. выразить $\ y$ и найти $ \lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x) $, но дело в том что При разделении переменных решить такой дифф ур не получается в элементарных функциях, так как такие интегралы не берутся$\int{{\frac {1}{\sqrt[3]{y^2+1}}} dy = \int{{\frac {1}{\sqrt[3]{x^4+1}}} dx +C $ , а на Maple выдает кашмар который я даже не знаю как понимать.... а если быть точнее то гипергеометрическую функцию которую мы не изучали....$\ x*hypergeom([1/3, 1/2], [3/2], -x^2)$ =). Вот я подумал а что если интегралы брать в несобственном смысле тобишь $\int_{0}^{\infty }{{\frac {1}{\sqrt[3]{y^2+1}}} dy = \int_{0}^{\infty }{{\frac {1}{\sqrt[3]{x^4+1}}} dx +C $ и исследовать их на сходимость. Но вот дальше я что то немного не пойму. Как это связать с ассимптотами =)). Подскажите плиз=)......... кстати в первом интеграле, если сделать замену $\ y^2=t$ то получится бетта функция Эйлера... может это не случайно НО все это только мои предположении которые могут быть полнейшим бредом... я во всем этом не уверен =))

[gris]

...

[GAA]

Вообще-то... это задачи из книги Филипов А.Ф. Сборника задач по дифференциальным уравнениям.

К первой задаче.
1. После разделения переменных, можно поступить так. В левой части интегрировать от $y_0$ до $y$, а в правой от $x_0$ до $x$ ($y(x_0) = y_0$) и исследовать сходимость интегралов. Отсюда получить, что если решение можно продолжить на всю прямую, то оно имеет горизонтальные асимптоты при $x \to \infty$. 2. Показать, что можно продолжить.

[Sintanial]

Эммм а как мне исследовать на сходимость интегралы в которых я не знаю где особая точка =) ?

[GAA]

Sintanial писал(а):

Эммм а как мне исследовать на сходимость интегралы в которых я не знаю где особая точка =) ?

при $x \to \infty$.

[Sintanial]

а в левой части. Там ведь $\ y $

[GAA]

и $y \to \infty$.

[Sintanial]

Значит в первом посте я был прав в чем то =)

[GAA]

Вы исследуйте интегралы на сходимость (это дело одной секунды) и подумайте: может ли иметь место равенство, которое Вы привели в первом сообщении.

Sintanial писал(а):

$\int_{0}^{\infty }{{\frac {1}{\sqrt[3]{y^2+1}}} dy = \int_{0}^{\infty }{{\frac {1}{\sqrt[3]{x^4+1}}} dx +C $

[Sintanial]

Эмм а первый интеграл вроде не сходится при $\ y $ стремящемся к бесконечности

[Brukvalub]

Sintanial в сообщении #201004 писал(а):

Эмм а первый интеграл вроде не сходится при $\ y $ стремящемся к бесконечности

А правый - сходится на бесконечности. Значит, чтобы равенство не нарушалось, в левой части у не должен стремиться е бесконечности...