ЛНДУ второго порядка

[Binder]

Задание: найти общее решение диф. уравнения $y''-8y'+12y=x$

Что я сделала:
1) Нашла общее решение ОДУ: $y''-8y'+12y=0$
Получилось $y(x) = C_1 e^{6x} + C_2 e^{2x}$
2) Дальше нужно найти частное решение НДУ
Нужно найти корни к правой части уравнения.
Получается $x=0$, а как теперь $y$ искать?
Нашла правила нахождения y к различным видам правой стороны, самый простой из них многочлен m-ой степени. Подходит ли он сюда? Или я вобще неправильно делаю?

[Виктория123]

Binder писал(а):

Задание: найти общее решение диф. уравнения y''-8y+12y=x
(извините, что не пользуюсь формулами, пробовала на комп поставить MathType - прав нет)

Для этого мастайп не нужен.Наверху строчка как писать формулы.

[RIP]

Binder в сообщении #200597 писал(а):

Нужно найти корни к правой части уравнения.

А это зачем?

Binder в сообщении #200597 писал(а):

Нашла правила нахождения y к различным видам правой стороны, самый простой из них многочлен m-ой степени. Подходит ли он сюда?

Ну у Вас же многочлен; выходит, что подходит.

P.S. У Вас в уравнении один штрих потерян.

[Binder]

а если не искать корни уравнения справа, как еще можно найти частное решение НДУ ?

[RIP]

Binder в сообщении #200612 писал(а):

а если не искать корни уравнения справа, как еще можно найти частное решение НДУ ?

А там, где Вы нашли правила нахождения частного решения, как рекомендуют искать его в случае, когда правая часть --- многочлен?

[Binder]

1. - многочлен степени m:
а) число 0 не является корнем характеристического уравнения , т. е. , тогда $y=Q_m (x)$
где - многочлен порядка m;

б) число 0 - корень характеристического уравнения, т. е. b = 0, тогда
&y=x Q_m (x)&
если 0 - простой корень, т. е. ;
&y=x^2 Q_m (x)&
если 0 - кратный корень, т. е. a = 0.

[mkot]

Ну и положите $y_{*} = Ax + B$ и подставьте его в уравнение, затем найдите коэффициенты $A$ и $B$.

[RIP]

Binder в сообщении #200620 писал(а):

1. - многочлен степени m:
а) число 0 не является корнем характеристического уравнения , т. е. , тогда $y=Q_m (x)$
где - многочлен порядка m;

А Вы знаете, что такое характеристическое уравнение? Это уравнение, которое Вы решаете, когда ищете общее решение однородного уравнения.

[Binder]

Получается, что если корни хар-го уравнения $k_1 = 6$ и $k_2 = 2$ , и f(x)=x , значит $y_* = x$ ?

[Imperator]

Корни х.у. не нуль, значит, $y_*=Q_m(x),$ где $m$ -- степень $f(x)$.
$m=deg(f(x))=1,$ тогда $y_*=Q_1(x)=a\cdot x+b$ -- многочлен 1-й степени, коэффициенты которого Вам неизвестны. Надо найти $a,b.$ Для этого подставьте $y_*$ в Ваше д.у. и найдите эти $a,b.$

[Brukvalub]

Binder в сообщении #200689 писал(а):

Получается, что если корни хар-го уравнения $k_1 = 6$ и $k_2 = 2$ , и f(x)=x , значит $y_* = x$ ?

Подставьте это "решение" в уравнение

[Binder]

Все решила, спасибо огромное всем за помощь!!!