О сведении решения уравнения четвертой степени к возвратному

[BapuK]

дано уравнение $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + x - 3 = 0$ множеством подстановок так и не нашел действительных корней подскажите что делать...

При архивировании сменил название темы, сохраняя тему ради сообщения GAA.

[Nxx]

$$x_1=\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{5}\right)$$

$$x_2=\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{5}\right)$$

[mkot]

Разложите сначала многочлен на неприводимые множители над полем рациональных чисел, раз у него нет рациональных корней, то представление имеет вид

$$(x^2 + ax + b)\cdot(x^2 + cx + d)$$

.
Его можно получить, например, методом Кронекера, или ещё как-нибудь. А затем решите два квадратных уравнения.

[Brukvalub]

$x^4 + 3x^3 + 4x^2 + x - 3 = (x^4 + x^3 - x^2 ) + (2x^3 + 2x^2 - 2x) + 3x^2 + 3x - 3$ = $(x^2 + x - 1)(x^2 + 2x + 3)$

[BapuK]

Brukvalub писал(а):

$x^4 + 3x^3 + 4x^2 + x - 3 = (x^4 + x^3 - x^2 ) + (2x^3 + 2x^2 - 2x) + 3x^2 + 3x - 3$ = $(x^2 + x - 1)(x^2 + 2x + 3)$

Красиво ет чистая интуиция или по какому-то определенному методу?

[Nxx]

Скажите, решать такие задачки учат в школе? Или в институте?
Вот дебилизм такому учить...

[BapuK]

эт задание из идз по многочленам)

[Brukvalub]

BapuK в сообщении #199123 писал(а):

Красиво Idea ет чистая интуиция или по какому-то определенному методу?

Это - по т. Виета (см.

Nxx в сообщении #199118 писал(а):

$$x_1=\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{5}\right)$$

$$x_2=\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{5}\right)$$

)

[BapuK]

тогда как нашлись корни

Nxx писал(а):

$$x_1=\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{5}\right)$$

$$x_2=\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{5}\right)$$

интересуюсь потому что придется объяснять как решал каждое задание

[Brukvalub]

BapuK в сообщении #199130 писал(а):

тогда как нашлись корни

Думаю, с помощью какого-нибудь пакета машинных вычислений.

[ewert]

Если $x^4+3x^3+4x^2+x-3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$, то

$\begin{cases}a+c=3,\\b+d+ac=4,\\ad+bc=1,\\bd=-3.\end{cases}$

Последнее уравнение имеет всего два целочисленных решения: $b=-1,\ d=3$ или $b=1,\ d=-3$. В первом случае из системы первого и третьего уравнений получается $a=1,\ c=2$, и второе равенство тоже выполняется. Во втором случае эта система даст дробные $a$ и $c$.

Но вообще я согласен с Nxx -- задачка совершенно не блещет изяществом.

[BapuK]

а коэффициенты $a,b,c,d$ обязательно будут целыми?
или это удобство для решения получившихся уравнений?

[ewert]

Нет, конечно. И вот именно потому, что нет -- любой способ решения будет некоторым трюкачеством.

[GAA]

BapuK, задавая вопрос о решении учебного примера, следует указывать теоретические сведения, которые, в соответствии с учебной программой, предполагаются Вам известными.

Если не указывать, чем можно пользоваться, то можно получить неуместные советы. Приведу пример такого неуместного совета. Вот как я решал подобные задачи со школьниками.

О сведении решения уравнения четвертой степени к возвратному уравнению.
Уравнение четвертого порядка
$ax^4 + bx^3 + cx^2+dx+e=0$ (0)
называется возвратным, если его коэффициенты удовлетворяют соотношению
$\left( \frac{b}{d} \right)^2 = \frac {a}{e}$. (1)
Обозначив значение отношения $a/e$ через $\lambda$, общее возвратное уравнение четвертого порядка можно записать в виде
$ax^4 + bx^3 + cx^2+\lambda b x + \lambda a^2 = 0$. (2)
Это уравнение, заменой $z=x+\lambda /x$, можно «привести» к квадратному
$az^2+bz+c-2\lambda a = 0 $. (3)
Зная решения (3), находим решения исходного уравнения, как объединение решений двух квадратных уравнений
$x^2-z_1x+\lambda = 0$ и $ x^2-z_2x+\lambda = 0 \quad$. (4)
Легко проверить, что замена $x=y-l$ сводит общее уравнение четвертого порядка (0) к возвратному уравнению четвертого порядка (1), если $l$ удовлетворяет вспомогательному кубическому уравнению
$(8a^2d-4acb+b^3)l^3+(4ac^2-16ea^2-2abd-cb^2)l^2+(8eba-4acd+db^2)l+$
$(ad^2-eb^2)=0 $. (5)
_______________________

Для уравнения $x^4+3x^3+4x^2+x-3 = 0$ вспомогательное кубическое уравнение имеет вид $13l^3-70l^2+79l-28=0$. Кубическое уравнение имеет легко угадываемый целый корень 4. Используя этот корень, приводим исходное уравнение четвертой степени к возвратному $y^4-13y^3+64y^2-143y+121=0$.
Действительные корни этого уравнения легко находятся: $\frac{7}{2} + \frac{\sqrt 5}{2} , \frac{7}{2}-\frac{\sqrt 5}{2}$.

[VAL]

BapuK писал(а):

а коэффициенты $a,b,c,d$ обязательно будут целыми?
или это удобство для решения получившихся уравнений?

В условии дан многочлен с целыми коэффициентами и содержанием 1 (т.е. его коэффициенты в совокупности взаимно просты). Если такой многочлен разлагается над полем рациональных чисел, то он разлгается и над кольцом целых чисел.
Поэтому ответ на Ваш вопрос такой: коэффициенты обязательно будут целыми..., если они будут рациональными. А вот это уже не обязательно