Инвариантное подпространство

[Mat1]

Пожалуйста, помогите решить задачу.
Задача. Пусть $\phi$ - линейное преобразование пространства $V$, $dim V = n$ и $\phi$ имеет собственный вектор. Доказать, что существует $\phi$-инвариантное подпространство размерности $n-1$.
Вот мои размышления: Пусть $V=S \oplus A=Pe_1+S$, где $A=\{\alpha a|\alpha \in P\}$. Так как $dim A=1$, а $dim S = n-1$, то если доказать, что $S_{\phi} \subset S$, то мы докажем, что существует $\phi$-инвариантное подпространство размерности $n-1$.
Пусть $S=<e_2, ... , e_n>$. Тогда
$e_1\phi=\alpha_1e_1,$
$e_2\phi=\beta_1e_1+ ... +\beta_ne_n,$
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$e_n\phi=\beta_ne_n+ ... +\beta_ne_n.$
И получим, что матрица $A_{\phi}$ равна

$$ \begin{array}{cccc} \lambda_{0}& 0 &\ldots & 0\\ a_{21}& a_{22} &\ldots & a_{2n}\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2} &\ldots & a_{nn} \end{array} $$

Вот дальше попрошу мне помочь, если мы докажем, что матрица $A_{\phi}$ равна

$$ \begin{array}{cccc} \lambda_{0}& 0 &\ldots & 0\\ 0& a_{22} &\ldots & a_{2n}\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ 0& a_{n2} &\ldots & a_{nn} \end{array} $$

то $\phi$-инвариантное подпространство размерности $n-1$.

[ewert]

(обозначения какие-то странные, ну да бог с ними)

Достаточно рассмотреть случай $\lambda=0$; это не то чтоб принципиально, но упрощает запись. Тогда утверждение сводится к следующему: если матрица вырождена, то у неё есть $(n-1)$-мерное инвариантное подпространство.

Ну и действительно есть. Если вырождена исходная матрица, то вырождена и транспонированная; пусть $\vec z$ -- какой-либо вектор, на котором транспонированная матрица обращается в ноль. Теперь достаточно выбрать в качестве $S$ множество всех векторов $\vec x$, "ортогональных" к $\vec z$ в том смысле, что $\sum x_iz_i=0$. Оно инвариантно, т.к. образ матрицы в любом случае "ортогонален" ядру транспонированной матрицы.

Кстати, это рассуждение обратимо: существование $(n-1)$-мерного инвариантного подпространства равносильно существованию хотя бы одного собственного числа.

[ewert]

<удалено как уже ненужное>

[мат-ламер]

Я извиняюсь, какую-то чушь написал, и тут же через минуту удалил. Но на неё уже поступил ответ. Возникает вопрос, а как вообще правиьно действовать в таких ситуациях, что-бы не терялась логика? Может правиьно ничего не удалять? Даже глупости? (Естественно, удалял последнее сообщение. В это время ответ ещё не появился).

[ewert]

Ну вот примерно так. Ответы ведь поступают с задержкой, и невозможно предугадать, что предыдущий оратор за это время успеет спохватиться.

[Хорхе]

Mat1 писал(а):

... Тогда
$e_1\phi=\alpha_1e_1,$
$e_2\phi=\beta_1e_1+ ... +\beta_ne_n,$
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$e_n\phi=\beta_ne_n+ ... +\beta_ne_n.$
И получим, что матрица $A_{\phi}$ равна

$$ \begin{array}{cccc} \lambda_{0}& 0 &\ldots & 0\\ a_{21}& a_{22} &\ldots & a_{2n}\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2} &\ldots & a_{nn} \end{array} $$

Вы хоть сами понимаете, что тут написано?

Цитата:

Достаточно рассмотреть случай $\lambda=0$; это не то чтоб принципиально, но упрощает запись. Тогда утверждение сводится к следующему: если матрица вырождена, то у неё есть $(n-1)$-мерное инвариантное подпространство.

Ну и, конечно, достаточно взять любое пространство коразмерности 1, содержащее образ.

[ewert]

Хорхе в сообщении #197699 писал(а):

Ну и, конечно, достаточно взять любое пространство коразмерности 1, содержащее образ.

Да, но это само по себе не даёт обратимости утверждения.