Снова о Диофантовом уравнении

[Виктор Ширшов]

Обратная теорема: «Сумма двух целых натуральных чисел с одинаковыми степенями меньше целого натурального числа в той же степени, если степень больше 1».
Доказательство
Пусть x, y,z, n – целые натуральные числа. Требуется доказать, что при n>1 $x^n + y^n< z^n$.
По условию теоремы при n=1 x + y = z. При n=2 $x^2 + y^2 < z^2$, так как $x<z>y$. В силу этого же свойства при n > 2 знак неравенства сохранится. Таким образом, $x^n + y^n< z^n$.

[ewert]

Виктор Ширшов писал(а):

Обратная теорема: «Сумма двух целых натуральных чисел с одинаковыми степенями меньше целого натурального числа в той же степени, если степень больше 1».
Доказательство
Пусть x, y,z, n – целые натуральные числа. Требуется доказать, что при n>1 $x^n + y^n< z^n$.

Контрпример: $3^5+4^5>2^5.$

[Виктор Ширшов]

ewert в сообщении #197038 писал(а):

Контрпример:

Ваш контрпример, не отвечает условию теоремы, так как при n=1 3+4$\ne$ 2

[Yarkin]

Виктор Ширшов в сообщении #197037 писал(а):

Обратная теорема: «Сумма двух целых натуральных чисел с одинаковыми степенями меньше целого натурального числа в той же степени, если степень больше 1».

Истина. Только, почему обратная?

[Виктор Ширшов]

Yarkin в сообщении #197042 писал(а):

Истина. Только, почему обратная?

Обратная теореме Ферма.

[PAV]

Виктор Ширшов в сообщении #197037 писал(а):

«Сумма двух целых натуральных чисел с одинаковыми степенями меньше целого натурального числа в той же степени, если степень больше 1»

Виктор Ширшов в сообщении #197041 писал(а):

Ваш контрпример, не отвечает условию теоремы

Простите, какому условию процитированной мной теоремы не удовлетворяет контрпример? Процитируйте условие, подчеркнув или выделив жирным шрифтом это условие.

[Виктор Ширшов]

PAV в сообщении #197044 писал(а):

Простите, какому условию процитированной мной теоремы не удовлетворяет контрпример? Процитируйте условие, подчеркнув или выделив жирным шрифтом это условие

.
А разве не очевидно, что если при n>1 Диофантово уравнение не равенство, то при n=1 оно всё же таковое

[PAV]

Повторяю: процитируйте условие своей формулировки теоремы, которому не удовлетворяет приведенный контропример. А то потом начнете говорить, что Вас не так поняли. Как сформулировали - так и поняли.

[ljubarcev]

Господин Ширшов ! Ваша теорема заслуживает названия "обратной"
но только потому, что Вы заходите не стой стороны. Ведь если $x^n+y^n=z^n$ при $n=2k+1$, то $x+y>z$; $x^2+y^2>z^2$;...$x^{2k}+y^{2k}>z^{2k}$; $x^n+y^n=z^n$; $x^{n+1}+y^{n+1}<z^{n+1}$ ....
Дед.

[AD]

Виктор Ширшов в сообщении #197048 писал(а):

А разве не очевидно, что если при n>1 Диофантово уравнение не равенство, то при n=1 оно всё же таковое

Может, проголосуем? Кому очевидно, поднимите руку!!

[Виктор Ширшов]

PAV в сообщении #197049 писал(а):

Повторяю: процитируйте условие своей формулировки теоремы, которому не удовлетворяет приведенный контропример. А то потом начнете говорить, что Вас не так поняли. Как сформулировали - так и поняли.

.

Виктор Ширшов в сообщении #197037 писал(а):

Пусть x, y,z, n – целые натуральные числа. Требуется доказать, что при n>1 $x^n+y^n < z^n$.

А если условие теоремы я сформулирую следующим образом:" Пусть x, y,z, n – целые натуральные числа и x+y=z. Требуется доказать, что при n>1 $ x^n+y^n < z^n$"

Добавлено спустя 13 минут 59 секунд:

ljubarcev в сообщении #197068 писал(а):

Господин Ширшов ! Ваша теорема заслуживает названия "обратной"
но только потому, что Вы заходите не стой стороны. Ведь если $ x^n + y^n = z^n$ при $n=2k+1$,то $x+y >z$

.
Вы смотрите на теорему со своей колокольни, которая, видимо, ниже моей.

[ewert]

Виктор Ширшов в сообщении #197119 писал(а):

А если условие теоремы я сформулирую следующим образом:" Пусть x, y,z, n – целые натуральные числа и x+y=z. Требуется доказать, что при n>1 $ x^n+y^n < z^n$"

Тогда это верно, и не только для целых. Доказывать не требуется -- это просто неравенство Минковского.

[Виктор Ширшов]

ewert в сообщении #197123 писал(а):

Тогда это верно, и не только для целых. Доказывать не требуется -- это просто неравенство Минковского.

А я считал, что в математике каждое утверждение доказывается.
Возможно, приведённая теорема верна не только для целых чисел.Но искать доказательство этому я предоставляю Вам.
Я сделал ударение на целых числах, чтобы выполнить доказательство теоремы Ферма с другой (обратнй) стороны, которое можно положить в основу, так как от перестановки мест слагаемых сумма (результат) не меняется.

[Мат]

Виктор Ширшов
Обратная теорема:
Если $x^n+y^n=z^n$, $n>1$, то $x+y>z$

[AD]

Виктор Ширшов в сообщении #197127 писал(а):

А я считал, что в математике каждое утверждение доказывается.

Нет, доказывается только то, что еще не доказано. А доказательство этой вашей "теоремы Ширшова" общеизвестно.