задача по функану

[g-a-m-m-a]

Пусть P--банахово пространство, а L_1,\,L_2--его подпространства, причем P=L_1\oplus L_2. Доказать, что существует такое k, что \parellel x_1\parallel\leqslant k\parallel x \parallel и \parellel x_2\parallel\leqslant k\parallel x \parallel, где x=x_1+x_2,\,x_1\in L_1,\,x_2\in L_2,\,x\in P.

[ewert]

...

[mkot]

g-a-m-m-a писал(а):

Пусть P--банахово пространство, а L_1,\,L_2--его подпространства, причем P=L_1\oplus L_2. Доказать, что существует такое k, что \parellel x_1\parallel\leqslant k\parallel x \parallel и \parellel x_2\parallel\leqslant k\parallel x \parallel, где x=x_1+x_2,\,x_1\in L_1,\,x_2\in L_2,\,x\in P.

Другими словами:

Пусть $P$ -- банахово пространство, а $L_1, L_2$ -- его подпространства, причем $P = L_1 \oplus L_2$. Доказать, что существует такое $k$, что $\parallel x_1 \parallel \leqslant k \parallel x \parallel$ и $\parallel x_2 \parallel \leqslant k \parallel x \parallel$, где $x=x_1+x_2, \,x_1\in L_1,\,x_2\in L_2,\,x \in P$.

[g-a-m-m-a]

Спасибо, mkot. Что-то у меня с кодировкой было((

[gris]

Поразительно, как банахово пространство искажает буковки. Но это, наверное, только такое, которое не является гильбертовым.

[g-a-m-m-a]

Нам сказали рассмотреть вот такие функционалы f(x), что f(x)=\parallel x\parallel,\,x\in L_1, f(x)=0,\,x\in L_2. Продолжить их на все пространство, затем воспользоваться теоремой Банаха-Штейнгауза, выбирая x_1 особым образом.

[ASA]

Цитата:

$P=L_1\oplus L_2$

- есть прямая сумма. Значит, $\forall x\in P$ разложение

Цитата:

$x=x_1+x_2$

единственно. Стало быть, на $P$ определены линейные ограниченные операторы $A_1$, $A_2$, действующие по правилу: $x_1=A_1 x$, $x_2=A_2 x$. Дальше дело техники.

[g-a-m-m-a]

ASA, а вы уверены, что A_1, A_2 будут ограниченны?

[ASA]

Вопрос, конечно, интересный .

Добавлено спустя 4 минуты 26 секунд:

Вообще-то, $A_1$, $A_2$ - метрические проекторы и, следовательно, $\|A_1\|\leqslant 1$, $\|A_2\|\leqslant 1$.

Добавлено спустя 2 минуты 48 секунд:

Или я что-то путаю?

[ewert]

g-a-m-m-a писал(а):

Нам сказали рассмотреть вот такие функционалы f(x), что f(x)=\parallel x\parallel,\,x\in L_1, f(x)=0,\,x\in L_2. Продолжить их на все пространство, затем воспользоваться теоремой Банаха-Штейнгауза,

Так ведь Банах со Штейнгауззом занимальсь вроде как только линейными функционалами.

ASA писал(а):

и, следовательно, $\|A_1\|\leqslant 1$, $\|A_2\|\leqslant 1$.

Это неверно даже в двумерном случае.

[id]

Лемма о том, что если пространство $E$ разлагается в топологическую прямую сумму своих подпространств $F$ и $G$, то проектор $P: E\to E$ на $F$ вдоль $G$ ограничен, действительно есть.

Ну а прямая сумма будет топологической, если норма в этой самой сумме эквивалента $\| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2$ норме.

[ASA]

ewert в сообщении #196452 писал(а):

Это неверно даже в двумерном случае.

Это верно в гильбертовых. В банаховых не знаю, но, скорей всего, тоже верно.

[ewert]

id писал(а):

Ну а прямая сумма будет топологической, если норма в этой самой сумме эквивалента $\| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2$ норме.

Тогда вроде бы решение исходной задачи сводится всего лишь к одной фразе:

"Если доказываемое утверждение верно, то оно верно".

[g-a-m-m-a]

Хм.. я думаю, что предполагалось, что задача решается без топологических прямых сумм

[ewert]

ASA в сообщении #196456 писал(а):

Это верно в гильбертовых.

Возьмите прямую сумму двух неортогональных подпространств (плоский аналог: разложите вектор по двум неперпендикулярным осям).