Ряды с ланом

[Neytrall]

Помогите разобраться с этим примером. Я впервые встретил лан, и незнаю как его решить:
$\sum\limits_{i=1}^ \infty \frac {\ln n}{2n^3-1}$

[ewert]

А что решать-то?... И кто такой "lan"?... (неужто ж сам Натуральный Логарифм?)

[Neytrall]

Мне надо узнать расходится ряд или нет

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Я его впервые в рядах встретил. )

Добавлено спустя 59 секунд:

каким методом решают такие примеры?

[ShMaxG]

При достаточно больших $n$ общей член ряда мажорируется

\[ \frac{1} {{n^2 }} \]

со всеми вытекающими....

[ewert]

В том смысле, что любой логарифм на бесконечности много меньше любой степени -- ну вот хотя бы первой.

[Neytrall]

спасибо. значит сходится.

Направьте меня ещё вот в чём, мне нужно покаказать, что $\sum\limits_{i=1}^ \infty \frac {a^n*n!}{n^n}$ сходится при $0<a<e$ и расходится при $a>e$

Я попробовал при помощи Деламбера, но зашёл в тупик

$\sum\limits_{i=1}^ \infty \frac {a^n*n!}{n^n}=A_n$
$\frac {A_{n+1}}{A_n}=\frac {a^{n+1}*(n+1)!*n^n} {(n+1)^{n+1}*a^n*n!}=\frac {a}{(n+1)^n}$

А что дальше?

[Someone]

Неправильно сократили.

[ewert]

Neytrall в сообщении #195276 писал(а):

А что дальше?

Сначала -- Вы зевнули, что раньше. Раньше надо было не потерять $n^n$ в числителе.

А потом -- попросту $\left(1+{1\over n}\right)^n\to e.$

[ShMaxG]

Neytrall
Ну можно применить формулу Стирлинга.
Если без нее - вы не правильно сократили. Должно быть

\[ \frac{{an^n }} {{\left( {n + 1} \right)^n }} \]

. Затем используйте определение числа $e$ и примените признак Даламбера.

[Neytrall]

$\frac {a*n^n}{(n+1)^n}$

ага. понял. осознал.исправил

Добавлено спустя 1 минуту 44 секунды:

А как показать что она сходится при $a>0$?

[ShMaxG]

ShMaxG писал(а):

используйте определение числа $e$

[Утундрий]

То есть, проще говоря, найдите предел $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n \]$