ДУ второго порядка

[LittleLamer]

Ищу уравнение движения тела в одной задаче по механике. Пришел к такому уравнению:

\[m\frac{{dv_x }}{{dt}} = r - ky - mg\]

,
где r, k, m и g - коэффициенты

\[{v_x }\]

- проекция скорости на ось ординат
в результате решения хочу найти уравнение

\[v_x = f\left( t \right)\]

Как пробовал решать: подстановкой

\[y' = p,\text{ }y'' = p'p\]

, но прихожу к такому:

\[p^2 = \frac{{2r}}{m}y - \frac{k}{m}y^2 - 2gy + C_1 \]

(

\[C_1 \]

будет равно нулю, т.к. если y=0, то для моей задачи это означает, что тело лежит "на полу". Т.е. какое может быть ускорение? Конечно же

\[p = y' = \frac{{dy}}{{dt}} = 0\]

).
Но дальше не могу сдвинуться (. Подскажите, пожалуйста

[Алексей К.]

LittleLamer писал(а):

Ищу уравнение движения тела в одной задаче по механике. Пришел к такому уравнению:

\[m\frac{{dv_x }}{{dt}} = r - ky - mg\]

,

Перепишите исходную задачку поаккуратнее. Чтоб хотя бы уравнение второго порядка было видно... $\frac{{dv_{_{X?}} }}{{dt}}$ --- это $y''$?

[LynxGAV]

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами - это и есть подсказка. Есть стандартный метод решения таких уравнений.

[LittleLamer]

Цитата:

Перепишите исходную задачку поаккуратнее

Да, получается

\[ my'' = r - ky - mg \]

[LynxGAV]

И какое решение соответствующего однородного уравнения?

[LittleLamer]

LynxGAV писал(а):

И какое решение соответствующего однородного уравнения?

Таак-с... т.е. в общем виде неоднородное ур-е с постоянными коэффициентами вот такое:

\[ y'' + py' + Qy = f\left( x \right) \]

.
В моём случае получается

\[ y'' + \frac{k} {m}y = \frac{r} {m} - g \]

А однородное - это без правой части, т.е.

\[ y'' + \frac{k} {m}y = 0 \]

.
Так?

Добавлено спустя 7 минут 7 секунд:

Цитата:

какое решение

Составим характеристическое уравнение для

\[ y'' + \frac{k} {m}y = 0 \]

, имеем:

\[ b^2 + \frac{k} {m} = 0 \]

\[ b = \pm i\sqrt {\frac{k} {m}} \]

Тогда получается

\[ y = e^0 \left( {C_1 \cos t + C_2 \sin t} \right) = C_1 \cos t + C_2 \sin t \]

[LynxGAV]

LittleLamer писал(а):

Тогда получается

\[ y = e^0 \left( {C_1 \cos t + C_2 \sin t} \right) = C_1 \cos t + C_2 \sin t \]

Все правильно до этой строчки. Куда делось $b$? И какое частное решение неоднородного уравнения?

[LittleLamer]

LynxGAV писал(а):

Куда делось b

это корни характеристического уравнения, по их виду определили y

[LynxGAV]

Если характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни

$$\lambda_{1,2}=\alpha_1\pm i \alpha_2$$

, то какое общее решение?

[Парджеттер]

LittleLamer в сообщении #184988 писал(а):

это корни характеристического уравнения, по их виду определили y

Уточните вид общего решения в данном случае. Аргумент под тригонометрическими функциями там другой.

[LittleLamer]

Прошу прощения, моё уравнение изменилось после изменеия условия задачи. Современный вариант выглядит так:

\[ y'' + \frac{k} {m}y = \frac{B} {m}\sin ^2 \left( {\omega t + \varphi } \right) - g \]

Думаю, не лишним будет убрать степень с синуса:

\[ y'' + \frac{k} {m}y = \frac{B} {m}\frac{{1 - \cos \left( {2\omega t + 2\varphi } \right)}} {2} - g \]

Т.е. получилось линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Насколько я понял, решение такого уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного и частного решения неоднородного:

\[ y = \overline y + y^* \]

1. Ищем

\[ \overline y \]

.

\[ y'' + \frac{k} {m}y = 0 \]

Характеристическое уравнение:

\[ \begin{gathered} b^2 + \frac{k} {m} = 0 \hfill \\ b = \alpha \pm \beta i = \pm \sqrt {\frac{k} {m}} \hfill \\ \end{gathered} \]

LynxGAV в сообщении #184981 писал(а):

какое частное решение неоднородного уравнения?

Таким образом

\[ \overline y = e^{\alpha t} \left( {C_1 \cos \beta t + C_2 \sin \beta t} \right) = C_1 \cos \left( {\sqrt {\frac{k} {m}} t} \right) + C_2 \sin \left( {\sqrt {\frac{k} {m}} t} \right) \]

Но как найти константы?
2. Частное решение неоднородного уравнения. Как быть? У нас есть правая часть:

\[ \frac{B} {m}\frac{{1 - \cos \left( {2\omega t + 2\varphi } \right)}} {2} - g \]

воспользоваться трудами Эйлера и заменить косинус?

\[ \cos \beta t = \frac{{e^{i\beta x} + e^{ - i\beta x} }} {2} \]

[LynxGAV]

Забыли мнимую единицу в корнях характеристического уравнения.

Константы находятся из начальных условий.

Чтобы найти частное решение неоднородного, когда правая часть уравнения представлена в виде суммы двух функций $f_1(t)+f_2(t)$, проще воспользоваться принципом суперпозиции, т.е. находить два частных решения для уравнений, в которых правые части будут $f_1(t)=\frac{B}{2m}-g$ и $f_2(t)=\frac{B\sin{2\phi}}{2m}\sin{2\omega t}-\frac{B\cos{2\phi}}{2m}\cos{2\omega t}$, соответственно. Тогда частное решение исходного уравнения будет равно сумме частных решений.

[garin99]

LynxGAV писал(а):

...$f_2(t)=\frac{B\sin{2\phi}}{2m}\sin{2\omega t}-\frac{B\cos{2\phi}}{2m}\cos{2\omega t}$...

Это верно если $2\omega \neq \sqrt{\frac{k}{m}}$

[LynxGAV]

Если равно, то частное решение будет другим.

LittleLamer

Я случайно нажала на ссылку, перед которой было написано "Если вы больше не хотите следить за темой, то либо щёлкните по ссылке "перестать следить за темой" внизу страницы, либо перейдите по следующей ссылке" и могу быстро не среагировать на Ваши вопросы. Но буду стараться заглядывать почаще, да и если что умные дяди Вас наедине не оставят, я уверена.

[LittleLamer]

LynxGAV в сообщении #185816 писал(а):

буду стараться заглядывать почаще

Большое Вам спасибо за помощь , но сейчас вопрос о решении ДУ уже не требует решения. Дело в том, что я учел ошибки и пришел к выводу, что уравнение неправильно описывает необходимый мне процесс. А как составить правильное уравнение - буду разбираться. Теперь предстоит еще окунуться в аэромеханику. Потом опять вернусь в математику