Интеграл

[Eiktyrnir]

Помогите решить интеграл

$$\int \frac {dx} {\sqrt(lg{x}^3+6)}$$

пробывал так
t=\sqrt(lg{x}^3+6)тогда

$$\int \frac {dx} {\sqrt(lg{x}^3+6)}$$

есть $\frac {2} {3}$

$$\int (10^{t^{2}-6})^\frac {1} {3} dt$$

Вот как дальше такой брать - вопросы...или я иду не по верному пути?

[ShMaxG]

У меня получилось чуть по-проще:

\[ \int {\frac{{dx}} {{\sqrt {3\lg x + 6} }}} = \frac{{\sqrt {\ln 10} }} {{100\sqrt 3 }}\int {\frac{{dt}} {{\sqrt {\ln t} }}} \]

, а

\[ \int {\frac{{dt}} {{\sqrt {\ln t} }}} = 2t\sqrt {\ln t} - 2\int {\sqrt {\ln t} } dt \]

. Вопрос уже в том, интегрируется ли (в эл. функциях)

\[ \int {\sqrt {\ln t} } dt \]

.

[AD]

Eiktyrnir в сообщении #181134 писал(а):

Вот как дальше такой брать

Это у Вас свёлся к $e^{t^2}$, то есть не берётся вроде бы. В предположении, что всё сделано правильно.

[ewert]

а никак, ибо это интеграл от экспоненты, делённой на аргумент. И тем не менее: решить его невозможно в принципе (даже если бы он каким-то чудом и выражался через элементарные функции), поскольку интегралы -- не решаются, а считаются.

[AD]

ShMaxG, думаю, замена $t=e^{z^2}$ должна что-нибудь прояснить. В том же предположении.

[ShMaxG]

AD
Ок, свелось к

\[ \int {z^2 e^{z^2 } dz} \]

. Теперь буду знать, что такие вещи не выражаются в эл. функциях.

[Профессор Снэйп]

Кстати, верно ли, что для натурального числа $n$ интеграл

$$ \int x^n e^{x^2} dx $$

выражается в элементарных функциях тогда и только тогда, когда $n$ нечётно?

[ShMaxG]

Профессор Снэйп
Проверил, да.

Добавлено спустя 52 секунды:

Просто потому, что в случае четного $n$ такой интеграл всегда сводится к

\[ \int {e^{x^2 } dx} \]

[Sonic86]

Ну и соответственно в случае нечетного эн он берется

[Профессор Снэйп]

Хм... Э что, если теперь сделать $n$ непрерывным параметром? Что-нибудь хорошее из этого можно извлечь?

Хотя вряд ли. Ну переходят функции из элементарно выражаемых в не выражаемые элементарно при непрерывных деформациях. Ну и что?

[Eiktyrnir]

Благодарю всех за помощь!!!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #181466 писал(а):

Хм... Э что, если теперь сделать непрерывным параметром? Что-нибудь хорошее из этого можно извлечь?

Можно. Можно извлечь неполную гамма-функцию.