Расходимость гармонического ряда, в три строчки.

[Geen]

А как мы получили из уменьшения части членов строгое уменьшение суммы?

[warlock66613]

Geen, ведь уменьшение даже одного члена уменьшает сумму на такую же величину. Остальные уменьшения сумму не увеличивают. Отсюда имеем строгое неравенство.

[Geen]

Мне кажется, что уменьшение бесконечного числа членов немного усложняет жизнь..... хотя, может быть надо просто бумажку взять

[skobar]

Geen в сообщении #1737536 писал(а):

Мне кажется, что уменьшение бесконечного числа членов немного усложняет жизнь..... хотя, может быть надо просто бумажку взять

Надо просто узнать определение суммы ряда (hint: это предел частичных сумм) и далее воспользоваться соответствующими свойствами сравнения пределов для двух последовательностей, которые очевидны прямо из определения пределов. Возможно приплести сюда еще теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Упражнение для школьников.

[Combat Zone]

skobar в сообщении #1737514 писал(а):

$S_1<S \ \&\ S_1 = S$

Я суть доказательства так оставлю, для краткости.
В доказательстве нет противоречия. Автор полагает, что уменьшив все слагаемые, он уменьшает сумму ряда. Строго говоря, это не так. Сумма ряда - предельный переход, предельный переход в неравенстве, даже строгом, делает его нестрогим.
То есть пока автор показал, что $S_1 \le S \ \&\ S_1 = S$.

Чтобы доказать строгое неравенство, можно рассмотреть разность между соответствующими частичными суммами $H_{2n}-H_n$ и получить оценку снизу. То есть, д-во станет вполне узнаваемым.

Хотя, есть более безболезненный способ его починить. Запомнить, на сколько именно отличаются первая частичная сумма и вторая прямо по слагаемым и отгородиться от нуля. Но работы с частичными суммами не удастся избежать.

Самый простой вариант - отгородиться от нуля по разности первых слагаемых.

[mihaild]

Combat Zone в сообщении #1737540 писал(а):

Автор полагает, что уменьшив все слагаемые, он уменьшает сумму ряда. Строго говоря, это не так. Сумма ряда - предельный переход, предельный переход в неравенстве, даже строгом, делает его нестрогим.

Но тут не делает, у нас все элементы последовательности частичных сумм уменьшаются на отделенную от нуля величину. Так что этот результат можно доказать в общем виде, без привязки к конкретному ряду.

[skobar]

Combat Zone в сообщении #1737540 писал(а):

В доказательстве нет противоречия. Автор полагает, что уменьшив все слагаемые, он уменьшает сумму ряда. Строго говоря, это не так. Сумма ряда - предельный переход, предельный переход в неравенстве, даже строгом, делает его нестрогим.
То есть пока автор показал, что $S_1 \le S \ \&\ S_1 = S$.

Я удивлен, как совершенно очевидную вещь уважаемые участники форума не видят сразу. Придется преодолеть лень и разжевать очевидное:
Вы строго уменьшили первый член ряда на какой-то положительный $\varepsilon$ (неважно какой, важно, что положительный). Первый член - это первая частичная сумма ряда. Далее вторая частичная сумма (это сумма первых двух членов) так же уменьшиться на этот $\varepsilon$. Третья частичная сумма уменьшится не меньше, чем на $\varepsilon$ (на самом деле больше, чем на $\varepsilon$ так как мы ещё уменьшаем третий член последовательности). И так далее, справедливо утверждение, что каждая частичная сумма модифицированного ряда будет меньше соответствующей частичной суммы исходного ряда по крайне мере на этот самый фиксированный $\varepsilon$.
Теперь остаётся заметить очевидный факт, что если у нас есть сходящаяся последовательность, и если мы каждый член последовательности уменьшим по крайне мере на одно и то же положительное $\varepsilon$, то предел модифицированной последовательности будет меньше исходного предела по меньшей мере на $\varepsilon$.
Существование предела модифицированной последовательности в нашем случае следует из теоремы Вейерштрасса, так как все члены рядов положительны и того факта, что сходящаяся последовательность ограничена (надеюсь, это разжевывать не надо).

[Combat Zone]

mihaild
Я исхожу из того, что все тут присутствующие, включая ТС, знают об этом.
Но воспринимаю изложение ТС as is. А оно выглядит так - если я уменьшу слагаемые, сумма уменьшится.
При предположении, что она конечна, да, данная сумма уменьшится. Но вообще говоря, это надо заметить или обосновать.

-- добавлено через 5 минут --

skobar
А почему вы решили что присутствующие о чем-то там не догадываются?
На ваш пост мне пришлось сослаться только потому, что там была самая краткая формулировка сути док-ва.

[skobar]

mihaild в сообщении #1737541 писал(а):

Так что этот результат можно доказать в общем виде, без привязки к конкретному ряду.

В общем виде может оказаться, что модифицированный ряд вообще не сходится (то есть не будет $S_1$ в используемых обозначениях)

-- добавлено через 9 минут --

Combat Zone в сообщении #1737544 писал(а):

А почему вы решили что присутствующие о чем-то там не догадываются?

Потому что вы пишите:

Combat Zone в сообщении #1737540 писал(а):

В доказательстве нет противоречия. Автор полагает, что уменьшив все слагаемые, он уменьшает сумму ряда. Строго говоря, это не так. Сумма ряда - предельный переход, предельный переход в неравенстве, даже строгом, делает его нестрогим.
То есть пока автор показал, что $S_1 \le S \ \&\ S_1 = S$.

Это неверное утверждение. Автор доказал именно строгое неравенство, а вы этого не поняли.
До этого Geen задавал вопрос, из которого ясно, что он также не понял доказательство.

-- добавлено через 59 секунд --

Полагаю, что на ваш вопрос я ответил.

[Combat Zone]

.

skobar в сообщении #1737545 писал(а):

Это неверное утверждение. Автор доказал именно строгое неравенство, а вы этого не поняли.

Как скажете.

[skobar]

Combat Zone в сообщении #1737546 писал(а):

Как скажете.

Я здесь ни при чем, это факт, от моих слов никак не зависящий. Извините, если он кажется вам обидным. Я лишь дал точный ответ на ваш вопрос.

[Combat Zone]

(Оффтоп)

skobar
Мне он не кажется обидным. Вы не хотите понимать меня - я не считаю возможным обижаться на вас. Можете продолжить в ЛС, если желаете. Но вообще в это время люди спят уже ).

[skobar]

Combat Zone

(Оффтоп)

Я вас отлично понимаю. Мне тоже сначала пришла в голову мысль, что при предельном переходе строгий знак неравенства сменится на нестрогий (эта мысль у математиков возникает на уровне условного рефлекса :) ) . Но стоило вспомнить определение суммы ряда как предел частичных сумм, то тут же стало понятно, что в данном случае строгий знак неравенства сохранится.

[Combat Zone]

(Оффтоп)

Пральна. И тут между вами мною и ТС зарыта некая разница, м?
Я ведь не говорю, что его доказательство невынимаемо. Оно вынимаемо. Я даже показываю минимум два способа, как. Один совсем банальный. Но он-то этого не делает.

-- добавлено через 3 минуты --

(Оффтоп)

Замечание 2.
Есть типичное для преподавателей, в основном, когнитивное искажение. Дополнять ответ до правильного. То есть слышать то, что студент не сказал, но что разумеется должен был сказать в этом месте, ибо как же иначе.
Ну это так. Молодость вспомнилась ))

[пианист]

Alexander Alexandrov
+1, как говорится, красивая конструкция.