Тавтология в доказательстве учебника Атанасян по геометрии

[Pojiloy Pelman]

стр. 164 доказательство о пересечении прямой p, расстояние от центра окружности до которой =d, в двух точках. Атанасян берет длину r - длина данного радиуса окружности, так что неважно, какое именно у нас катет d < r, но рассматриваемый прямоугольный треугольник с гипотенузой r, одной из своих вершин будет лежать на окружности, ведь r и есть равноудаленное расстояние всех возможных точек от данной точки О, соответственно и второй катет будет иметь точку, лежащую на окружности. Значит, находя HA, мы уже принимаем тот факт, что A лежит на окружности, так зачем нужна эта бессмысленная тавтология? Не проще просто объяснить: т.к. d<r, то math.sqrt(r^2-d^2)=AH. Т. к. r - есть радиус окружности, то его второй конец (A) лежит на окружности, это означает, что катет AH пересекает окружность в точке A. Аналогично с HB. Тогда прямая p пересекает окружность в двух точках при условии d<r. Чуть с ума не сошел споря с ии, объясните мне мой промах.

[Someone]

Извините, из вашего пересказа вообще ничего нельзя понять. Откуда взялся прямоугольный треугольник? Вы может процитировать текст точно?

Кроме того, у нас принято писать формулы в формале $\LaTeX$. Например ваше

Pojiloy Pelman в сообщении #1736987 писал(а):

math.sqrt(r^2-d^2)=AH

должно выглядеть так: $\sqrt{r^2-d^2}=AH$.

$\sqrt{r^2-d^2}=AH$

Краткий FAQ по тегу [math]

[warlock66613]

Да, процитировать было бы неплохо, а также ясно сформулировать предлагаемую альтернативу. Но я, кажется, нашёл это место (на другой странице).

Pojiloy Pelman в сообщении #1736987 писал(а):

Значит, находя HA, мы уже принимаем тот факт, что A лежит на окружности

Атанасян не ищет длину $HA$. Он откладывает две точки $A$ и $B$ на прямой $p$ на заданном расстоянии от точки $H$. Это расстояние равно $\sqrt{r^2 - d^2}$. Тут нет никакого поиска длины. Просто берутся два заданных числа $r$ и $d$, вычисляется $\sqrt{r^2 - d^2}$ и откладываются точки. Окружность при этом никак не участвует в этом действии. А вот дальше доказывается, что построенные точки лежат на окружности. Никакой тавталогии тут нет.

[Pojiloy Pelman]

Текст:
"68 Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, лежащего на этой прямой.

Пусть прямая p не проходит через центр O окружности радиуса r. Проведем перпендикуляр OH к прямой p и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е. расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 211).

Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая.

1) d<r. На прямой p от точки H отложим два отрезка HA и HB, длины которых равны $\sqrt{r^2 - d^2}$
(рис. 211, а). По теореме Пифагора OA=$\sqrt{OH^2+HA^2}$=$\sqrt{d^2+(r^2-d^2)}$=$\sqrt{r^2}$=r
OB=$\sqrt{OH^2+HB^2}$=$\sqrt{d^2+(r^2-d^2)}$=$\sqrt{r^2}$=r

Следовательно точки A и B лежат на окружности...."


Когда мы берем расстояние HA, HB, мы используем теорему Пифагора, т. е. принимаем тот факт, что r - в данном случае гипотенуза некоего прямоугольного треугольника. Я понимаю, что мы на данном этапе не берем окружность во внимание и тогда да, доказательство кажется логичным, но разве не логично, что, говоря об r, мы знаем - один из концов этого отрезка будет лежать на окружности, если r строят из центра O? Конечно, можно предположить, что r строят со стороны прямой p, и перпендикуляр будет опущен в точку O, но какая разница? И так и так значение отрезков AH, BH будет одинаковым в этих случаях, поэтому я возьму радиус, построенный из центра окружности. Так вот, так как наш r имеет общую точку с окружностью, то образованный прямоугольный треугольник, который используют в доказательстве, когда пишут "...На прямой p от точки H отложим два отрезка HA и HB, длины которых равны $\sqrt{r^2 - d^2}$..." будет иметь вершину на окружности, это и означает, что точки A, B отрезков AH, HB лежат на окружности. Тогда последующее действие - просто бессмысленное повторение

-- добавлено через 32 секунды --

Текст:
"68 Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, лежащего на этой прямой.

Пусть прямая p не проходит через центр O окружности радиуса r. Проведем перпендикуляр OH к прямой p и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е. расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 211).

Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая.

1) d<r. На прямой p от точки H отложим два отрезка HA и HB, длины которых равны $\sqrt{r^2 - d^2}$
(рис. 211, а). По теореме Пифагора OA=$\sqrt{OH^2+HA^2}$=$\sqrt{d^2+(r^2-d^2)}$=$\sqrt{r^2}$=r
OB=$\sqrt{OH^2+HB^2}$=$\sqrt{d^2+(r^2-d^2)}$=$\sqrt{r^2}$=r

Следовательно точки A и B лежат на окружности...."


Когда мы берем расстояние HA, HB, мы используем теорему Пифагора, т. е. принимаем тот факт, что r - в данном случае гипотенуза некоего прямоугольного треугольника. Я понимаю, что мы на данном этапе не берем окружность во внимание и тогда да, доказательство кажется логичным, но разве не логично, что, говоря об r, мы знаем - один из концов этого отрезка будет лежать на окружности, если r строят из центра O? Конечно, можно предположить, что r строят со стороны прямой p, и перпендикуляр будет опущен в точку O, но какая разница? И так и так значение отрезков AH, BH будет одинаковым в этих случаях, поэтому я возьму радиус, построенный из центра окружности. Так вот, так как наш r имеет общую точку с окружностью, то образованный прямоугольный треугольник, который используют в доказательстве, когда пишут "...На прямой p от точки H отложим два отрезка HA и HB, длины которых равны $\sqrt{r^2 - d^2}$..." будет иметь вершину на окружности, это и означает, что точки A, B отрезков AH, HB лежат на окружности. Тогда последующее действие - просто бессмысленное повторение

-- добавлено через 2 секунды --

Текст:
"68 Взаимное расположение прямой и окружности

Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, лежащего на этой прямой.

Пусть прямая p не проходит через центр O окружности радиуса r. Проведем перпендикуляр OH к прямой p и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е. расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 211).

Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая.

1) d<r. На прямой p от точки H отложим два отрезка HA и HB, длины которых равны $\sqrt{r^2 - d^2}$
(рис. 211, а). По теореме Пифагора OA=$\sqrt{OH^2+HA^2}$=$\sqrt{d^2+(r^2-d^2)}$=$\sqrt{r^2}$=r
OB=$\sqrt{OH^2+HB^2}$=$\sqrt{d^2+(r^2-d^2)}$=$\sqrt{r^2}$=r

Следовательно точки A и B лежат на окружности...."


Когда мы берем расстояние HA, HB, мы используем теорему Пифагора, т. е. принимаем тот факт, что r - в данном случае гипотенуза некоего прямоугольного треугольника. Я понимаю, что мы на данном этапе не берем окружность во внимание и тогда да, доказательство кажется логичным, но разве не логично, что, говоря об r, мы знаем - один из концов этого отрезка будет лежать на окружности, если r строят из центра O? Конечно, можно предположить, что r строят со стороны прямой p, и перпендикуляр будет опущен в точку O, но какая разница? И так и так значение отрезков AH, BH будет одинаковым в этих случаях, поэтому я возьму радиус, построенный из центра окружности. Так вот, так как наш r имеет общую точку с окружностью, то образованный прямоугольный треугольник, который используют в доказательстве, когда пишут "...На прямой p от точки H отложим два отрезка HA и HB, длины которых равны $\sqrt{r^2 - d^2}$..." будет иметь вершину на окружности, это и означает, что точки A, B отрезков AH, HB лежат на окружности. Тогда последующее действие - просто бессмысленное повторение

[warlock66613]

Pojiloy Pelman в сообщении #1737026 писал(а):

Когда мы берем расстояние HA, HB, мы используем теорему Пифагора

Нет, мы не используем теорему Пифагора. Мы просто вычисляем $\sqrt{r^2 - d^2}$ как арифметическое выражение. Нам неважно, что оно похоже на теорему Пифагора. Мы не привязываем это ни к какому треугольнику, просто вот захотелось нам отложить именно такое расстояние -- и откладываем его.

[Booker48]

Да вроде нет "бессмысленых повторений".
Изначально есть точка $O$ и прямая $p$.
По условию $OH$ равно $d$ и мы явно строим две точки.
После чего доказываем, что они лежат на окружности радиуса $r$ с центром в точке $O$.
И, кстати, потом доказываем, что нет на прямой $p$ третьей точки, принадлежащей окружности.
Никаких тавтологий, всё логично в учебнике.

[TOTAL]

Pojiloy Pelman в сообщении #1737026 писал(а):

но разве не логично, что, говоря об r, мы знаем - один из концов этого отрезка будет лежать на окружности, если r строят из центра O?

Какого этого отрезка?
Без слова "тавтология" объясните, что именно смущает.