Количество точек окружности

[Windzorro]

На одном (ныне почившем) форуме, пользователь под ником Захар, запостил утверждение, что число точек окружности хотя и бесконечное, но обязательно четное.

Что, действительно есть в математике такая теорема, или он выдумал?

[warlock66613]

Выдумал. Количество точек на окружности выражается не натуральным числом, а кардинальным числом. А для кардинальных чисел понятий чётности и нечётности нет.

Есть даже такой интересный факт (детская версия парадокса Банаха -- Тарского): можно убрать из окружности одну точку, получив окружность с "дыркой" (выколотой точкой), затем разделить такую окружность на две части, повернуть одну часть на некоторый угол (повернуть как целое, сохраняя взаимное расположение всех точек) и получить в итоге исходную целую окружность без дырок и наложений.

То есть целую окружность (в которой как утверждает Захар чётное число точек) и окружность с дыркой (в которой в таком случае, видимо, должно быть нечётное число точек) можно превращать друг в друга с помощью одного только поворота части фигуры, ничего (никакие точки) не выкидывая и не добавляя.

[Gagarin1968]

Windzorro в сообщении #1735003 писал(а):

На одном (ныне почившем) форуме, пользователь под ником Захар, запостил утверждение, что число точек окружности хотя и бесконечное, но обязательно четное

Он его не просто запостил, он его доказал. И я помню это доказательство.
Оно основывалось на центральной симметрии.
У окружности есть центр. Любая прямая, проходящая через центр, пересекает окружность ровно в двух точках (диаметрально противоположных). Окружность можно представить как бесконечное объединение таких пар.
И Захар сделал вывод: "раз всё разбивается на пары, значит, общее число чётное".
Но в бесконечных множествах это так не работает. Вот, например, множество всех целых чисел $\mathbb {Z}$ тоже можно разбить на пары (1 и -1, 2 and -2...), но оно от этого не становится чётным.

[manul91]

Gagarin1968 в сообщении #1735007 писал(а):

Но в бесконечных множествах это так не работает.

Верно.

Gagarin1968 в сообщении #1735007 писал(а):

Вот, например, множество всех целых чисел $\mathbb {Z}$ тоже можно разбить на пары (1 и -1, 2 and -2...), но оно от этого не становится чётным.

Пример плохой. С нулем что делать? Или он нецелый? Так что в таком аспекте множество целых чисел скорее нечетное.
Вот $x$ и $x+17$ пригодилось бы.

[wrest]

Gagarin1968 в сообщении #1735007 писал(а):

Любая прямая, проходящая через центр, пересекает окружность ровно в двух точках (диаметрально противоположных).

Ага, но можно было бы вращать не отрезок (диаметр), а правильный треугольник. Каждой точке тогда сопоставлены две других, и получатся не пары, а тройки.