Доказать авнозначность отрезка его подмножеству

[Heremeses]

Всем добрый день, решил почитать Теорию множеств Шеня и столкнулся с данной задачей, к которой никак не могу подступиться:

Докажите, что если отрезок разбит на две части, то хотя бы одна из них равномощна исходному отрезку

В случае если бъем на 2 отрезка все совсем просто, а вот ситуация, когда на подмножествах отрезков нет совсем, вводит в тупик. С чего посоветуете начать?

[Anton_Peplov]

Эта задача дана до того, как мощность отрезка числовой прямой названа по имени, или после?

[Heremeses]

Понятие континуума еще не вводилось, но задачка в разделе теоремы Кантора-Бернштейна

[Geen]

Heremeses в сообщении #1734950 писал(а):

когда на подмножествах отрезков нет совсем

А как такое возможно?

[Mihr]

Geen в сообщении #1734956 писал(а):

А как такое возможно?

Запросто. Например, одно из подмножеств состоит из всех рациональных точек исходного отрезка, другое - из всех иррациональных.

[mihaild]

Вы уже знаете, что есть биекция из отрезка в квадрат? Если да, то возьмите её, и посмотрите на вертикальные сечения образа одного из исходных множеств. Рассмотрите два варианта: они все непустые, или среди них есть хотя бы одно пустое.

(Оффтоп)

И у трехтомника два автора.

[Heremeses]

mihaild в сообщении #1734977 писал(а):

Вы уже знаете, что есть биекция из отрезка в квадрат? Если да, то возьмите её, и посмотрите на вертикальные сечения образа одного из исходных множеств. Рассмотрите два варианта: они все непустые, или среди них есть хотя бы одно пустое.

(Оффтоп)

И у трехтомника два автора.

Спасибо, решалось через предыдущую задачу, которую я пропустил так как совершенно не понял условие)

ВНИМАНИЕ, РЕШЕНИЕ!!!
В общем кому интересно, если у нас первый случай, в котором все сечения не пустые, значит в каждом сечении есть как минимум одна точка. Фишка тут в том, что число всех вертикальных сечений квадрата равно числу точек на горизонтальном отрезке квадрата. Так как каждое сечение это минимум одна точка квадрата (за счет биекции читайте как одна точка исходного множества на которые мы дробили отрезок), а число сечений равно числу точек на отрезке квадрата, получаем что исходное множество равномощно отрезку квадрата, а следовательно и исходному отрезку так как они все равномощны

Второй случай. Здесь получается, что как минимум на одном из сечений не встречается точек из подмножества, которое мы отображаем. А значит оно целиком состоит из точек подмножества, которое мы не отображаем. Получаем, что у нас в месте пересечения прямой сечения и квадрата формируется множество точек из другого сечения. А если посмотреть внимательней, то получается что оно равномощно вертикальному отрезку квадрата. Следовательно мощность множества, которое мы не рассматривали изначально, равна мощности вертикального отрезка квадрата

[mihaild]

Ага, всё правильно.

Heremeses в сообщении #1734990 писал(а):

Так как каждое сечение это минимум одна точка квадрата (за счет биекции читайте как одна точка исходного множества на которые мы дробили отрезок), а число сечений равно числу точек на отрезке квадрата, получаем что исходное множество равномощно отрезку квадрата

Кстати в этом месте есть некоторое жульничество. Довольно хитрое, будет объяснено в книге сильно позже, но я бы советовал попробовать его заметить сейчас (не страшно, если не получится).

[Anton_Peplov]

Вообще, все подобные задачи решаются в одну строчку через общую теорему. Пусть хотя бы одно из множеств $A, B$ бесконечно. Тогда верно $|A \cup B| = \max \{|A|, |B|\}$. У Шеня эта теорема где-то должна быть, но, наверное, уже после упомянутой задачи.