СТО: две встречные ракеты

[Soshnikov_Serg]

Здравствуйте всем!
Помогите разобраться. По-моему, задачка древняя должна быть. Но ни где пока не нашел.
Пусть есть стержень длиной 2L. У центра его стоит землянин (ЗМ) с флагом. С обоих концов стержня к нему приближаются две ракеты с космонавтами, движущиеся с одинаковой скоростью V вдоль оси стержня справа и слева по направлению к флагу ЗМ. В системе ЗМ ракеты достигают соответствующих концов стержня одновременно. В этот момент все три участника включают свои секундомеры. Нужно определить, какое время будут показывать секундомеры космонавтов в момент их встречи у флага ЗМ. Расчет выполнить в разных системах.

В системе ЗМ все просто. Считаем интервал, пройденный космонавтом слева (ЛК): ЛК достигнет середины стержня за время t = L/V. Поэтому
$s = c \frac{L}{V} \gamma$ где $\gamma = \sqrt{1-V^2 / c^2}$
Поэтому по расчетам ЗМ часы ЛК будут показывать время $\tau = \frac{L}{V} \gamma$
Расчет для космонавта справа совершенно аналогичен и результат тот же самый.

Перейдем в систему ЛК. Что он видит? К нему на со скоростью V приближается флаг, удаленный от него на расстояние $L \gamma$. Соответственно, флаг приедет к нему за время $\tau = \frac{L}{V} \gamma$. Ответ тот же, кто бы сомневался.

И теперь нужно рассчитать в той же системе ЛК время, затраченное на всю операцию космонавтом справа (ПК). В системе ЛК ПК приближается к нему со скоростью
$U = \frac{2 V}{1+V^2/c^2}$
Пусть по расчетам ЛК на весь путь вдоль правой половины стержня ПК потребовалось некоторое время Т. Тогда к моменту встречи у флага часы ПК должны показывать
$\tau = T \sqrt{1-U^2 / c^2} = T \frac{1-V^2 / c^2}{1+V^2 / c^2}$
И вот тут я затупил. Получается, что Т должно быть равно:
$T = \frac{L}{V} \frac{1+V^2 / c^2}{\sqrt{1-V^2 / c^2}}$
Даже если учесть, что до встречи в системе ЛК ПК нужно пролететь расстояние $2 L \gamma$, то все-равно получается
$T = \frac{2 L \gamma}{U} = \frac{L}{V} \sqrt{1-V^2 / c^2} (1+V^2 / c^2)$
Что еще я не учел?
Помогите решить-разобраться!

[DimaM]

Soshnikov_Serg в сообщении #1734567 писал(а):

Что еще я не учел?

В системе ЛК события достижения ЛК левого конца стержня и достижения ПК правого конца стержня не одновременны.

[Soshnikov_Serg]

DimaM в сообщении #1734569 писал(а):

В системе ЛК события достижения ЛК левого конца стержня и достижения ПК правого конца стержня не одновременны.

Это понятно. Для меня пока не понятно, как это учесть при решении задачи. Как это время Т посчитать?

[EUgeneUS]

Вообще говоря, тут четыре события:

1. ЛК достигает своего конца стержня. Включает секундомер.
2. ПК достигает своего конца стержня. Включает секундомер.
3. ЗМ включает секундомер.
4. ЛК и ПК достигают середины стержня. ЛК, ПК, ЗМ выключают свои секундомеры.

События 1, 2, 3 одновременны только в СО ЗМ, в СО ЛК\ПК все они произойдут в разные моменты времени.

Soshnikov_Serg в сообщении #1734567 писал(а):

Перейдем в систему ЛК. Что он видит? К нему на со скоростью V приближается флаг, удаленный от него на расстояние $L \gamma$. Соответственно, флаг приедет к нему за время $\tau = \frac{L}{V} \gamma$. Ответ тот же, кто бы сомневался.

Тут пропущено задание: рассчитать в СО ЛК время, которое будет показывать секундомер ЗМ.
ИМХО, лучше сначала разобраться с этим вопросом, прежде чем переходить к рассмотрению ПК в СО ЛК.

[DimaM]

Soshnikov_Serg в сообщении #1734642 писал(а):

Как это время Т посчитать?

Проще всего преобразовать по Лоренцу соответствующие события из системы ЗМ в систему ЛК.

[Soshnikov_Serg]

EUgeneUS в сообщении #1734643 писал(а):

Тут пропущено задание: рассчитать в СО ЛК время, которое будет показывать секундомер ЗМ.

А вот это - хорошая подсказка. Спасибо! Что-то не учел вначале. Нужно обдумать.

DimaM в сообщении #1734647 писал(а):

Проще всего преобразовать по Лоренцу

И без этого не обойтись наверняка...

Неужели такую задачу никто нигде не решал?

[realeugene]

Soshnikov_Serg в сообщении #1734674 писал(а):

Неужели такую задачу никто нигде не решал?

Как минимум ваши преподаватели решали. Тут не дают решения учебных задач.

[DimaM]

Soshnikov_Serg в сообщении #1734674 писал(а):

Неужели такую задачу никто нигде не решал?

Я со школьниками подробно разбираю "половинку" этой задачи: поезд едет мимо платформы, собственная длина одинаковая, в начале и конце платформы и поезда часы, каждая пара синхронизована в своей системе.
В момент, когда голова поезда поравнялась с началом платформы, эти двое часов показывают нуль.
Ну и дальше что показывают каждые часы в моменты совпадения хвоста поезда с началом платформы, головы поезда с концом платформы и хвоста поезда с концом платформы.

Вложение:

relat_sem2n1res.png

[Soshnikov_Serg]

realeugene в сообщении #1734675 писал(а):

Тут не дают решения учебных задач.

Ну, может это и зря... Иногда полезно что-то показать.
А вообще, спасибо, конечно всем, за наводящие подсказки и советы. Решил я таки эту задачу. Действительно получается, что
$T = \frac{L}{V} \frac{1+V^2 / c^2}{\sqrt{1-V^2 / c^2}}$
Даже не ожидал, что столь прямолинейное использование преобразований Лоренца так просто приведет к нужному ответу.
Еще раз всем спасибо!!!