теорема

[GogalNikolay]

Теорема. Пусть a \geq 5 и m \in \left(a^2,\; (a+1)^2\right) — составное число, не представимое в виде (a+1)^2 - k^2 ни при каком целом k \leq \sqrt{2a}. Тогда m имеет простой делитель p < a - \sqrt{2a} + 2.

Доказательство. От противного: пусть все простые делители m не меньше \tau = a - \sqrt{2a} + 2.

Шаг 1. Поскольку \tau^3 > (a+1)^2 при a \geq 5, число m — произведение ровно двух простых: m = p \cdot q, p \leq q.

Шаг 2. Оба простые нечётные, поэтому s = \frac{p+q}{2} и d = \frac{q-p}{2} — целые, и m = s^2 - d^2.

Шаг 3. Из m > a^2 следует s \geq a+1. Из p \geq \tau следует d \leq s - \tau = s - a + \sqrt{2a} - 2.

Шаг 4. Если s = a+1, то m = (a+1)^2 - d^2 с d \leq \sqrt{2a}, что противоречит условию теоремы.

Шаг 5. Если s \geq a+2, то из m < (a+1)^2 следует d > \sqrt{s^2 - (a+1)^2}. При s = a+t (t \geq 2):

\sqrt{2a(t-1) + t^2 - 1} \;>\; t + \sqrt{2a} - 2 = s - a + \sqrt{2a} - 2 \geq d

[Ende]

GogalNikolay
Чего Вы хотите в этой теме? Чтобы форумчане помогли Вам проверить доказательство на ошибки? Или претендуете на новый математический результат?

[GogalNikolay]

Ende в сообщении #1733911 писал(а):

Или претендуете на новый математический результат?

Нет, просто я говорил, что не одно число не следует делить больше данного значения, конечно, это копейки, но для больших чисел, когда самые большие делители, они существенны, а что до ошибок, то тут их быть не может, разве только в оформлении, в махах логически проверено и просто на пальцах доказывается.

[Ende]

GogalNikolay
А предмет для обсуждения в чем?

[GogalNikolay]

Ende в сообщении #1733914 писал(а):

GogalNikolay
А предмет для обсуждения в чем?

Там задачку давал, она в карантине, я неправильно поставил там знак минус вместо +, был забанен и не мог исправить, там я давал +1, это чтоб у форумчан был шанс самим дойти до данного предела, я оставил один из возможных контрпримеров, верней, это и не контрпример, ибо он не превосходит значение, мной указанное, там Лукомор как раз привёл пример с 7, она как раз и лежит на расстоянии квадрата, что даёт логическое решение для того, что в этом посту разместил, думал, будут обсуждения тех, кто говорил, что этого не может быть.

[Booker48]

GogalNikolay в сообщении #1733912 писал(а):

Нет, просто я говорил, что не одно число не следует делить больше данного значения

В каком смысле больше? Это число сильно больше, чем $\sqrt{a}$.

[GogalNikolay]

Booker48 в сообщении #1733919 писал(а):

В каком смысле больше? Это число сильно больше, чем $\sqrt{a}$.

$ p < a - \sqrt{2a} + 2.$ Квадратный из а — это уже четвёртая степень из числа, и она применяется на произведениях двух рядом стоящих нечётных чисел.

[Booker48]

GogalNikolay
Вы же это для факторизации числа придумали?
А в каком направлении Вы идёте в поисках делителей?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: не знаю, в какой раздел, поэтому пока сюда.

[GogalNikolay]

Booker48 в сообщении #1733921 писал(а):

А в каком направлении Вы идёте в поисках делителей?

В таком, что у меня одному блокеру на 100 000 000 чисел противостоит более 40 000 кандидатов, которые должен замочить один блокер, сами понимаете, даже если блокиров будет в разы больше, шансов выбить всех кандидатов ноль, факторизацию делают до а, а у меня меньше.

[Booker48]

GogalNikolay в сообщении #1733923 писал(а):

В таком, что у меня одному блокеру на 100 000 000 чисел противостоит более 40 000 кандидатов, которые должен замочить один блокер, сами понимаете, даже если блокиров будет в разы больше, шансов выбить всех кандидатов ноль, факторизацию делают до а, а у меня меньше.

Зачем Вы пишете на форум, если не отвечаете на вопросы?
Просто ... ответьте ... на ... вопрос
Я понятно прошу?

[GogalNikolay]

Booker48 в сообщении #1733928 писал(а):

Просто ... ответьте ... на ... вопрос
Я понятно прошу?

вы про это А в каком направлении Вы идёте в поисках делителей? Направление разное для чисел Мерсенна отсекает самые большие и дорогие тесты, хоть и немного, и для доказательства бесконечности чисел близнецов, или вы что-то другое имеете в виду.

[Booker48]

GogalNikolay в сообщении #1733912 писал(а):

просто я говорил, что не одно число не следует делить больше данного значения

Ну, пусть у нас есть число $a=1763$
Ваша теорема гласит, что его простой делитель, если он есть, $p < 1763-\sqrt{3526}+2 \approx 1706$
Что даёт нам это знание?
А для числа $a_1=10036223, p_1<10013744$
Как это знание нам помогает? Мы должны перебрать в поисках возможного делителя все простые числа до $p$?

[GogalNikolay]

Booker48 в сообщении #1733933 писал(а):

Как это знание нам помогает? Мы должны перебрать в поисках возможного делителя все простые числа до $p$?

Это нам ничего почти не даёт, не даёт, просто дошли до 1706 и бросили, на этом и закончили, после этого значения делителей не будет, число простое, если до этого не было делителей, а если числа стозначные, то это мы выкидываем самые большие, которые затратны для того, чтобы дальше продолжать делить.

[Booker48]

GogalNikolay в сообщении #1733934 писал(а):

Это нам ничего почти не даёт, не даёт, просто дошли до 1706 и бросили, на этом и закончили, после этого значения делителей не будет, число простое, если до этого не было делителей

"Дойти" достаточно до $\sqrt{a}$.
Т.е. в первом случае не до $1706$, а до $42$.
А во втором не до $10013744$, а до $3168$.
Если до этого делителей нет, то число точно простое.