Где заканчивается власть абстракции в математике?

[Andrei_Tiumentsev]

В математике и физике мы постоянно работаем с абстрактными формальными системами. Они дают мощные результаты, но у них есть границы. Хотелось бы обсудить, где проходит эта граница.
Возьмём конкретный пример. В алгебраической формулировке квантовой механики (и не только) физическая лаборатория моделируется как коммутативная унитарная R-алгебра A. Измерительный прибор — элемент a ∈ A. Состояние системы — гомоморфизм унитарных R-алгебр h: A → R. Показание прибора — h(a). Это элегантный и мощный формализм.
Но он имеет границы. Он работает внутри фиксированной алгебры. Как только мы пытаемся перейти к другой лаборатории (другой алгебре) или описать ситуацию, где структура не сохраняется (нелинейные приборы, смена базиса, гипотеза Римана), формализм перестаёт отвечать на вопросы о происхождении самих объектов. Он описывает уже готовую структуру, но не объясняет, откуда она взялась и как с ней работать при изменении условий.
Это наводит на общий вопрос: в каких случаях мы можем доверять результатам, полученным внутри абстрактной формальной системы, а в каких — нет? Где проходит граница, за которой абстракция перестаёт быть достаточным основанием для истинности?
Уточню:
Что делает абстракцию «достаточной» для обоснования результата?
Может ли формальная система сама себе гарантировать истинность своих результатов, или для этого нужно нечто за её пределами?
Существуют ли математические истины, которые невыводимы из аксиом, но при этом необходимы для понимания структуры?
Мне кажется, что ответ на эти вопросы лежит не в построении ещё одной формальной системы, а в различении того, что такое «основание» и «абстракция». А ещё лучше вывести саму абстракцию из оснований. Возможно, истинность абстрактного результата зависит не от его внутренней непротиворечивости, а от того, восстановлено ли его происхождение. То есть: результат истинен не потому, что он выведен из аксиом, а потому, что мы можем проследить путь от основания к абстракции и обратно.
Но это пока гипотеза. Хотелось бы услышать мнение "народа".

[EUgeneUS]

Не знаю, что такое "власть абстракции", но в математике абстракция\абстракции не заканчивается нигде, или никогда, если угодно.
По определению математики.

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732075 писал(а):

Может ли формальная система сама себе гарантировать истинность своих результатов, или для этого нужно нечто за её пределами?

Может. Если истинность понимать в рамках формальной логики, а не как соответствие результатам эксперимента\наблюдения.

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732075 писал(а):

Существуют ли математические истины, которые невыводимы из аксиом, но при этом необходимы для понимания структуры?

Существуют. Аксиомы не выводятся из других аксиом.

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732075 писал(а):

Мне кажется, что ответ на эти вопросы лежит не в построении ещё одной формальной системы, а в различении того, что такое «основание» и «абстракция». А ещё лучше вывести саму абстракцию из оснований.

что такое "основание"? похоже на лишнюю сущность.

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732075 писал(а):

Возможно, истинность абстрактного результата зависит не от его внутренней непротиворечивости, а от того, восстановлено ли его происхождение.

Это какая-то расовая теория абстрактных результатов.

[Anton_Peplov]

Andrei_Tiumentsev
Непонятно, что Вы хотите обсудить - математику или физику. Если математику, то есть ее раздел под названием математическая логика, которая включает теорию доказательств. Про вывод из аксиом, непротиворечивость и т.д. там все расписано очень детально, велосипедов изобретать не надо. Если хотите, могу посоветовать учебники.

Если физику, то главный судья физической теории - эксперимент. А математика со всеми ее абстракциями - средство вывода фактов, проверяемых в эксперименте.

[Andrei_Tiumentsev]

Здравствуйте. Спасибо за ваше мнение. Только я бы хотел уточнить. Вот это ваше: "что такое "основание"? похоже на лишнюю сущность" говорит о чём? О том что какая-то система может существовать без основания, вне основания и независимо от основания. Я подразумеваю под системой всю современную классическую математику. То есть она выстроена на абстракции, опирается на абстракцию, и выводы в таком случае, по крайней мере сделанные без обращения к основанию, тоже можно считать абстракцией? Нет?

-- добавлено через 1 минуту --

И по второму посту. Здравствуйте. А как же междисциплинарность, о которой сегодня "из всех утюгов"?

[EUgeneUS]

Andrei_Tiumentsev
1. Совершенно не понимаю, что Вы подразумеваете под "основанием". И отказываюсь догадываться, ибо не телепат. Так что или дайте определение, что Вы понимаете под этим термином, или прошу использовать какой-то другой, более определенный.

2. Ниже в цитате зачеркнул про "основание".

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732136 писал(а):

Я подразумеваю под системой всю современную классическую математику. То есть она выстроена на абстракции, опирается на абстракцию, и выводы в таком случае, по крайней мере сделанные без обращения к основанию,тоже можно считать абстракцией?

Да, всё верно.

"Мостиком" между математическими абстракциями и, так скажем, прикладными областями являются модели.
В физике, например, физические модели.

Несколько сбивает с толку, что многие математические результаты были получены как бы по запросам "прикладных", эмпирических наук. В первую очередь из физики.
Но не только. Распределение Стьюдента, например, было разработано для решения задач, возникших у пивоваров Гинесса.

-- добавлено через 14 минут --

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732136 писал(а):

А как же междисциплинарность, о которой сегодня "из всех утюгов"?

Под междисциплинарностью, "о которой сегодня "из всех утюгов"" понимаются области на стыки двух и более "прикладных", эмпирических дисциплин.
А применение математических методов в "прикладных", эмпирических дисциплинах - это не междисциплинарность, это - общее место.

[Andrei_Tiumentsev]

Спасибо за ответ. Но мой ответ был не "модели" как мосте, мой вопрос был о самом мосте. С "пивом" всё ясно - данных мало, задачу решать нужно, сократим неопределённость. Я не спрашиваю откуда абстракция появилась. Я спрашиваю насколько истинность абстракции соответствует истинным основаниям математики? Например, группа Бурбаки в своё время билась над выведением 1-цы, ну и как бы не очень преуспела.

[Anton_Peplov]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732136 писал(а):

А как же междисциплинарность, о которой сегодня "из всех утюгов"?

Какая там междисциплинарность. Если Вы не можете понять, физикой Вы занимаетесь или математикой, то это не междисциплинарность, а просто непонимание. Если хотите получить содержательные ответы, задавайте более узкие и конкретные вопросы. Обо всем сразу можно сказать только ничего.

[Someone]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732144 писал(а):

Я спрашиваю насколько истинность абстракции соответствует истинным основаниям математики?

Что такое "истинные основания математики"?

[Andrei_Tiumentsev]

Anton_Peplov в сообщении #1732145 писал(а):

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732136 писал(а):

А как же междисциплинарность, о которой сегодня "из всех утюгов"?

Какая там междисциплинарность. Если Вы не можете понять, физикой Вы занимаетесь или математикой, то это не междисциплинарность, а просто непонимание. Если хотите получить содержательные ответы, задавайте более узкие и конкретные вопросы. Обо всем сразу можно сказать только ничего.

"междисциплинарность, это - общее место".... Значит мой первый вопрос находится в этом общем месте - следовательно - корректен. Заниматься "узким местом" - означает вообще плохо понимать чем ты собственно занимаешься. "Ничего" - категория вообще не очень понятная.

-- добавлено через 3 минуты --

Someone в сообщении #1732147 писал(а):

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732144 писал(а):

Я спрашиваю насколько истинность абстракции соответствует истинным основаниям математики?

Что такое "истинные основания математики"?

Это строго логический вывод, форм, сущностей, функций (той же самой абстракции) из логически непротиворечивой первопричины.

[Anton_Peplov]

Andrei_Tiumentsev
Мне хочется предметного разговора, а не болтовни.
Назовите, пожалуйста, те предметы из этого списка, с которыми Вы знакомы на уровне "знаю базовые определения и могу решать простейшие задачи".

1. Наивная теория множеств.
2. Теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора.
3. Исчисление высказываний.
4. Исчисление предикатов первого порядка.
5. Теория алгоритмов.
6. Формальные теории гильбертовского типа.
7. Формальные теории генценовского типа.

[Someone]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732148 писал(а):

Это строго логический вывод, форм, сущностей, функций (той же самой абстракции) из логически непротиворечивой первопричины.

Что такое "логически непротиворечивая первопричина"? И как можно получить из неё "строго логический вывод форм, сущностей" и прочего?

[Andrei_Tiumentsev]

"Мне хочется предметного разговора, а не болтовни." Отлично. Я не буду перечислять, что я знаю - это не имеет значения. Используя любую из этих систем, можете ли вы вывести непротиворечивую форму первичной целостности? Назвать её можно как угодно - 1, 0, множество всех множеств. Если вы можете - покажите. Если не можете, значит в "консерватории" нужно что-то подправить.

-- добавлено через 7 минут --

Someone в сообщении #1732150 писал(а):

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732148 писал(а):

Это строго логический вывод, форм, сущностей, функций (той же самой абстракции) из логически непротиворечивой первопричины.

Что такое "логически непротиворечивая первопричина"? И как можно получить из неё "строго логический вывод форм, сущностей" и прочего?

Есть такая наука формальная логика. Опишите непротиворечиво основание. Выведите из неё логически безупречно как, что, и откуда появляется. на основании выведенного определите целостности. Вот так получается 0. Вот так получается 1-ца. Вот так возникает тождество. Если соответствие с формальной логикой сохраняется - готово.

[Someone]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732151 писал(а):

Я не буду перечислять, что я знаю - это не имеет значения.

Понятно. Не знаете ничего, но желаете поболтать ни о чём.

[Mikhail_K]

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732151 писал(а):

Используя любую из этих систем, можете ли вы вывести непротиворечивую форму первичной целостности? Назвать её можно как угодно - 1, 0, множество всех множеств. Если вы можете - покажите. Если не можете, значит в "консерватории" нужно что-то подправить.

В математике нет никакой "формы первичной целостности".
На форум приходит много желающих "что-то подправить" в науке исходя из своих представлений о том, как она "должна" быть устроена. Обычно это желание соседствует со слабым знанием соответствующей науки. Заканчиваются такие истории отправкой темы в Пургаторий, иногда вместе с баном их автора за агрессивное невежество.

В Ваших фантазиях, в математике должна присутствовать некая "непротиворечивая форма первичной целостности". Но это только в Ваших фантазиях.

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732151 писал(а):

Есть такая наука формальная логика.

В математике вместо неё есть математическая логика. И есть основания математики, даже в нескольких разных вариантах. Во всех в них удаётся строго обосновать и определить всё, что нужно. Читайте, например,
Мендельсон. Введение в математическую логику
Френкель, Бар-Хиллел. Основания теории множеств
Верещагин, Шень. Начала теории множеств; Языки и исчисления
Куратовский, Мостовский. Теория множеств

[Dan B-Yallay]

Я так понимаю, TC не читать сюда пришел:

Andrei_Tiumentsev в сообщении #1732151 писал(а):

Есть такая наука формальная логика. Опишите непротиворечиво основание. Выведите из неё логически безупречно как, что, и откуда появляется. на основании выведенного определите целостности. Вот так получается 0. Вот так получается 1-ца. Вот так возникает тождество.