Группа S_5

[Dedekind]

Известно, что в подгруппе $G \subseteq S_5$ содержится цикл длины 5 и перестановка (12). Доказать, что $G = S_5$.

Я доказывал ранее, что $(12...n)$ и $(12)$ порождают $S_n$. Но, если я правильно понимаю, чтобы тут применить этот факт, нужно чтобы $(12345) \in G$. Но в условии не указан какой именно цикл длины 5 содержится в $G$. Как быть в таком случае?

[AlexBS]

Не ограничивая общности, считаем что дана транспозиция $(12)$.
С помощью сопряжений степенями $n$-цикла $(123...n)$ из неё получаются все транспозиции из (циклически) соседних пар: $(23), (34), ..., (n1)$.
Если же $n$-цикл другой, будут транспозиции с парами чисел, которые в данном цикле находятся на таком же расстоянии, как 1 и 2.
Их сопряжения + сопряжения сопряжений + и т.д. дают уже все транспозиции.
Произведениями транспозиций можно набрать любой цикл.
Из циклов можно составить любую перестановку.
В итоге получится вся группа $S_n$

[Gagarin1968]

Dedekind
На мой взгляд всё верно: именно конкретный цикл $(1\,2\,\dots\,n)$ и транспозиция $(1\,2)$ порождают всю симметрическую группу $S_{n}$.
В вашей задаче данный цикл длины $5$ может быть совершенно любым, например $(1\,3\,5\,2\,4)$.
Однако, как мне кажется, вся фишка этой задачи в том, что вы можете переобозначить (перенумеровать) элементы множества, на котором действует группа, чтобы свести задачу к уже известному вам утверждению.
Ну или воспользоваться свойствами простоты порядка.

[dgwuqtj]

Любой 5-цикл можно возвести в степень так, чтобы 1 переходила в 2. Ну а в каком порядке в этом цикле находятся 3, 4 и 5 — уже не имеет значения.

[Dedekind]

AlexBS, Gagarin1968, dgwuqtj
Спасибо за подсказки! Запишу в полном виде тогда, посмотрите, пожалуйста, все ли правильно.

Возводя произвольный 5-цикл в нужную степень, получим $(12a_3a_4a_5)$. Затем,

$$(12a_3a_4a_5)(12)(a_5a_4a_321) = (2a_3)$$

$$(12a_3a_4a_5)(2a_3)(a_5a_4a_321) = (a_3a_4)$$

$$(12a_3a_4a_5)(a_3a_4)(a_5a_4a_321) = (a_4a_5)$$

$$(12a_3a_4a_5)(a_4a_5)(a_5a_4a_321) = (a_51)$$

Затем,

$$(a_51)(a_4a_5)(a_51) = (1a_4)$$

$$(1a_4)(a_3a_4)(1a_4) = (1a_3)$$

Из $(12), (1a_3), (1a_4), (1a_5)$ можно составить любую транспозицию, а любая перестановка раскладывается в произведение транспозиций, из чего и следует $G=S_5$.

-- added 11 seconds later --

Gagarin1968 in post #1730799 писал(а):

Однако, как мне кажется, вся фишка этой задачи в том, что вы можете переобозначить (перенумеровать) элементы множества, на котором действует группа, чтобы свести задачу к уже известному вам утверждению.

Не уверен. Если взять, например, $(13524)$ и переименовать 3 в 2, а 2 в 3, так что выйдет $(12534)$, то и транспозицию $(12)$ тоже нужно будет переименовать в $(13)$. В итоге, выйдет все то же самое что и до переименования.

Gagarin1968 in post #1730799 писал(а):

Ну или воспользоваться свойствами простоты порядка.

Вы же вот это свойство имели в виду?

dgwuqtj in post #1730805 писал(а):

Любой 5-цикл можно возвести в степень так, чтобы 1 переходила в 2.

[Gagarin1968]

Dedekind в сообщении #1730871 писал(а):

посмотрите, пожалуйста, все ли правильно.

Dedekind
На мой взгляд, всё верно. И строгости хватает, потому что Вы явно предъявили конструктивные формулы для каждого шага.

Dedekind в сообщении #1730871 писал(а):

Gagarin1968 in post #1730799 писал(а):

Однако, как мне кажется, вся фишка этой задачи в том, что вы можете переобозначить (перенумеровать) элементы множества, на котором действует группа, чтобы свести задачу к уже известному вам утверждению.

Не уверен. Если взять, например, $(13524)$ и переименовать 3 в 2, а 2 в 3, так что выйдет $(12534)$, то и транспозицию $(12)$ тоже нужно будет переименовать в $(13)$. В итоге, выйдет все то же самое что и до переименования.

А вот тут Вы неправы. Этим способом тоже можно доказать.

Gagarin1968 в сообщении #1730799 писал(а):

В вашей задаче данный цикл длины $5$ может быть совершенно любым, например $(1\,3\,5\,2\,4)$

Обозначим через $\sigma \in G$ — наш цикл длины $5$, а $\tau = (1\,2) \in G$ — данная транспозиция.
Поскольку $\sigma$ — цикл длины $5$, в его циклической записи участвуют все $5$ элементов: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.
В цикле $\sigma$ элементы $1$ и $2$ обязательно где-то стоят. Они могут стоять рядом, а могут быть разделены другими элементами.
Теперь рассмотрим степени цикла $\sigma$, то есть $\sigma^2, \sigma^3, \sigma^4$. Так как $5$ — простое число, любая ненулевая степень цикла длины $5$ тоже является циклом длины $5$.
Теперь сблизим элементы. В последовательности элементов $\sigma(1), \sigma^2(1), \sigma^3(1), \sigma^4(1)$ обязательно встретится элемент $2$. Это значит, что мы можем выбрать такую степень $k$ ($1\leqslant k\leqslant 4$), что в цикле $\sigma ^k$ элемент $2$ будет идти сразу после элемента $1$.
Обозначим этот новый цикл $\alpha=\sigma^k$. Так как $\sigma \in G$, то и $\alpha \in G$. При этом в циклической записи $\alpha$ элементы $1$ и $2$ стоят рядом: $\alpha = (1\,2\,a\,b\,c)$, где $\{a, b, c\} = \{3, 4, 5\}$ в каком-то порядке.
И теперь временно переименуем элементы:
элемент $1 \to 1$
элемент $2 \to 2$
элемент $a \to 3$
элемент $b \to 4$
элемент $c \to 5$
B в этой новой нумерации наш цикл $\alpha$ выглядит в точности как $(1\,2\,3\,4\,5)$, а транспозиция $\tau$ осталась $(1\,2)$ (так как $1$ и $2$ не изменили своих имен).
И только сейчас Вы можете напрямую применить доказанный Вами ранее факт: эти два элемента порождают всю группу перестановок пяти элементов. А поскольку переименование (изоморфизм) не меняет структуру группы, то $G = S_5$.
Этот способ мне пришёл в голову сразу. Но по некотором размышлении должен признать, что Ваше решение если и не короче, то уж точно построже.

[dgwuqtj]

Это свойство с возведением в степень можно ещё проинтерпретировать через кольца вычетов. Пусть дан длинный цикл на $n > 1$ элементах, с точностью до перестановки это прибавление единицы в $\mathbb Z / n \mathbb Z$. Возведение в степень такого цикла — это замена прибавления единицы на прибавление другого класса вычетов $a$, но чтобы цикл оставался длинным, нужно $\text{НОД}(a, n) = 1$. И получается, что можно получить любой ненулевой $a$ тогда и только тогда, когда $n$ простое.

[Dedekind]

Gagarin1968 in post #1730925 писал(а):

И теперь временно переименуем элементы:
элемент $1 \to 1$
элемент $2 \to 2$
элемент $a \to 3$
элемент $b \to 4$
элемент $c \to 5$
B в этой новой нумерации наш цикл $\alpha$ выглядит в точности как $(1\,2\,3\,4\,5)$, а транспозиция $\tau$ осталась $(1\,2)$ (так как $1$ и $2$ не изменили своих имен).

А, в этом смысле переименование. Понял, спасибо!