найдите число

[GogalNikolay]

У меня есть целое многозначное число, я поочерёдно его умножил на 2, 3, ..., 9, таким образом получил 8 чисел, все первые цифры у этих чисел разные, если теперь впереди взять одну первую цифру и переместить в зад, то все 8 чисел уменьшатся вдвое, есть и девятое число от исходного такое, что если первую цифру у этого числа удалить, а к полученному числу её прибавить, то ваше число уменьшится в 77 раз, найдите это число, я его делал как показательное для подобных последовательностей и как такие числа решать.

[wrest]

GogalNikolay в сообщении #1730254 писал(а):

и как такие числа решать.

Решать так: записать что значит "если взять одну первую цифру и переместить в зад, то число уменьшится вдвое" в виде формулы.

[Mihr]

(Оффтоп)

GogalNikolay в сообщении #1730254 писал(а):

если теперь впереди взять одну первую цифру и переместить в зад

Тут бы не помешала более аккуратная формулировка Примерно так выражался персонаж Михаила Зощенко:

М. Зощенко писал(а):

Тут ударила мне кровь в голову.
— Ложи, — говорю, — взад!

[gris]

По второй задаче найти нетрудно тупеньким, но довольно быстрым перебором
$4052631578947368417 / 52631578947368421 =77$

[GogalNikolay]

gris в сообщении #1730288 писал(а):

По второй задаче найти нетрудно тупеньким, но довольно быстрым перебором

Задача для логики карандашом. Вы не обратили внимание, Убрать одну первую, а у вас две.., и у вас нолик пропал, хотя это ваше число, очень рядом.

[wrest]

Задуманное число
$N=\dfrac{2d}{19}\left(10^k-1\right)$
где $d$ - цифра, большая нуля, должно быть целым. Имеем
$10^{k} \equiv 1 \mod{19}$
Что по Малой Теореме Ферма даёт нам $k=18$

Трюк с делением на 77 - счастливое совпадение, просто проверяем что прокатывает.

[GogalNikolay]

wrest в сообщении #1730294 писал(а):

Трюк с делением на 77 - счастливое совпадение, просто проверяем что прокатывает.

Ваше решение для карандаша подойдёт, наверное, без калькулятора.

[gris]

Ой, нолик позабыл:)
$4052631578947368417 \to 052631578947368417$
$ 052631578947368417 + 4 = 052631578947368421$
$4052631578947368417 / 052631578947368421 =77$
Где ашыпка??? Или прибавить это приписать сзади? Ведь цифра же...
А нельзя ли увидеть правильное число?

[GogalNikolay]

Mihr в сообщении #1730286 писал(а):

аккуратная формулировка

Ссылка исправить в первом посте у меня почему-то нет... Переместить в конце число

-- добавлено через 2 минуты --

gris в сообщении #1730296 писал(а):

это приписать сзади?

Прибавить, а не подставить.
8 105 263 157 894 736 834

[wrest]

gris в сообщении #1730296 писал(а):

А нельзя ли увидеть правильное число?

GogalNikolay в сообщении #1730254 писал(а):

есть и девятое число от исходного такое, что если первую цифру у этого числа удалить, а к полученному числу её прибавить, то ваше число уменьшится в 77 раз

Написано конечно мутно, но попробуем.
"Исходное" (то которое умножали на 2,3...)

wrest в сообщении #1730294 писал(а):

Задуманное число
$N=\dfrac{2d}{19}\left(10^k-1\right)$
где $d$ - цифра, большая нуля, должно быть целым.

d=1, k=18
Дальше в нотации pari/gp, чтобы можно было следить за ходом вычислений в pari
"Исходное число" - то которое ранее умножали на 2,3,..,9 и получили 8 чудесных чисел
N=(10^18-1)*2/9
"девятое от исходного такое, что... ваше число уменьшится в 77 раз"
Увеличиваем "исходное" в 77 раз
N*77
"если первую цифру у этого числа удалить"
У "этого", то есть увеличенного в 77 раз исходного, удаляем старшую цифру:
N*77 % 10^(#digits(N*77)-1)
", а к полученному числу её прибавить"
К увеличенному в 77 раз исходному числу с уже удалённой старшей цифрой после увеличения, прибавляем (то есть выполняем операцию сложения) ранее удалённую старшую цифру:
N*77 % 10^(#digits(N*77)-1)+digits(N*77)[1]
Получаем "исходное"
N*77 % 10^(#digits(N*77)-1)+digits(N*77)[1] == N

[gris]

Я верю в PARI/GP. Он[a] даёт мне надежду, и стараюсь сразу универсализировать скрипт. И использую принцип приближений.

(Оффтоп)

{for(g=77, 77,
for(aa=10, 41,
a=aa;
for(kk=1,112,
  ai=0;
  for(r=0,29,
    m=a+r;
    n=g* m; 
    vn=digits(n);
    k=#vn;
    m1=n-vn[1]*10^(k-1)+vn[1];
    if(abs(m-m1)<100,
      if(ai==0, ai=1; c=m%100; );
      if(m==m1, printf("%d / %d  = %d \n",n,m,n/m); break(1))
    );
  );
  a*=10;a=a-a%1000+c*10;
)))}
8105263157894736834 / 105263157894736842  = 77
8105263157894736842105263157894736834 / 105263157894736842105263157894736842  = 77
8105263157894736842105263157894736842105263157894736834 / 105263157894736842105263157894736842105263157894736842  = 77
...
4052631578947368417 / 52631578947368421  = 77
4052631578947368421052631578947368417 / 52631578947368421052631578947368421  = 77
4052631578947368421052631578947368421052631578947368417 / 52631578947368421052631578947368421052631578947368421  = 77
time = 31 ms.

А на основе полученных результатов можно было бы и подумать о теоретической стороне. Но не получается:(

[wrest]

gris в сообщении #1730383 писал(а):

Но не получается:(

Присмотритесь к десятичной записи 1/19

[gris]

А как же с
726 / 33 = 22
7326 / 333 = 22
414 / 18 = 23
41814 / 1818 = 23
621 / 27 = 23
62721 / 2727 = 23
828 / 36 = 23
308 / 11 = 28
3108 / 111 = 28
31108 / 1111 = 28
итд

[wrest]

gris в сообщении #1730393 писал(а):

А как же с

Я не смог разгадать ваш ребус. Что значат приведённые дроби? Какое тайное знание и загадочный вопрос вы включили в них?

[gris]

wrest, так вы же сказали, что 77 не играет никакой партии, поэтому я решил алгоритм преобразования числа применить и к другим частным. То есть
$31108\to 1108 +3 = 1111: 31108 / 1111 = 28$ Вдруг пригодится:) Кто-то решит вместо 77 использовать другое отношение числа к его преобразованному виду. Кстати, нули во второй и далее позиции почему запрещены?
Мне понравилось отношение 83:
607311 / 7317 = 83
60731707311 / 731707317 = 83
6073170731707311 / 73170731707317 = 83 и так далее