Последний палиндром

[gipokrat]

Положительное целое число $n$ и число $2n+204$ являются десятичными палиндромами. Найдите (с доказательством) наименьшее и наибольшее возможные значения $n$.

[waxtep]

Ну, наименьшее-то $n=4$ (или $44$, если относиться к одноразрядным палиндромом со скепсисом), а наибольшее... $10^4-1$ еще подходит, дальше же надо думать

[gris]

Вроде бы ещё подходит $n= 99899=10^5-101 \to [2, 0, 0, 0, 0, 2]$
Gagarin1968, спасибо за поправку. Увлёкся доказательством бесконечности, если не требовать палиндромичности $n$, построил бесконечную последовательность и, опомнившись, засуетился и ошибся. Как обычно:(
А вот и Марфуша умницу запузырила, в интерда подключилась и нашла кое-чего.
Рассмотрим множество натуральных десятичных палиндромов.
Есть утверждение: для каждой линейной функции с целыми ненулевыми коэффициентами существует <лишь> конечное число отображений множества в себя. Не знаю, как его правильно сформулировать и верно ли оно. Для функции $3\cdot n+204$ есть бесконечное число решений:
$ 3 \cdot 669999...99999966+204 = 2010000...00000102$
А есть ли функция без решений?
Говорят, есть: $12n + 1,12n + 2,17n + 1,23n + 1,23n + 2,31n + 1,37n + 1,37n + 2...$
,Интереснейшая проблема! Наверняка обгрызена уже:(
Приведены разные примеры:

(Оффтоп)

$1\cdot8 + 204 = 212$
$1\cdot88 + 204 = 292$
$1\cdot99 + 204 = 303$
$1\cdot797 + 204 = 1001$
$2\cdot4 + 204 = 212$
$2\cdot9 + 204 = 222$
$2\cdot44 + 204 = 292$
$2\cdot9999 + 204 = 20202$
$2\cdot99899 + 204 = 200002$
$3\cdot6 + 204 = 222$
$3\cdot33 + 204 = 303$
$3\cdot171 + 204 = 717$
$3\cdot181 + 204 = 747$
$3\cdot191 + 204 = 777$
$3\cdot636 + 204 = 2112$
$3\cdot6666 + 204 = 20202$
$3\cdot66966 + 204 = 201102$
$3\cdot669966 + 204 = 2010102$
$3\cdot6699966 + 204 = 20100102$
$4\cdot2 + 204 = 212$
$4\cdot7 + 204 = 232$
$4\cdot22 + 204 = 292$
$4\cdot55 + 204 = 424$
$4\cdot151 + 204 = 808$
$4\cdot161 + 204 = 848$
$4\cdot171 + 204 = 888$
$4\cdot7447 + 204 = 29992$
$4\cdot74947 + 204 = 299992$
$4\cdot749947 + 204 = 2999992$
$4\cdot7499947 + 204 = 29999992$
$5\cdot44 + 204 = 424$
$5\cdot141 + 204 = 909$
$5\cdot151 + 204 = 959$
$5\cdot848 + 204 = 4444$
$5\cdot8888 + 204 = 44644$
$5\cdot18081 + 204 = 90609$
$5\cdot19091 + 204 = 95659$
$5\cdot88188 + 204 = 441144$
$5\cdot883388 + 204 = 4417144$
$5\cdot8835388 + 204 = 44177144$
$6\cdot3 + 204 = 222$
$6\cdot8 + 204 = 252$
$6\cdot77 + 204 = 666$
$6\cdot373 + 204 = 2442$
$6\cdot3333 + 204 = 20202$

$1\cdot636 + 2026 = 266$
$2\cdot373 + 2026 = 2772$
$2\cdot989 + 2026 = 4004$
$3\cdot212 + 2026 = 2662$
$3\cdot696 + 2026 = 4114$
$3\cdot5115 + 2026 = 17371$
$3\cdot9559 + 2026 = 30703$
$3\cdot9999 + 2026 = 32023$
$3\cdot54145 + 2026 = 164461$
$3\cdot544445 + 2026 = 1635361$
$4\cdot49494 + 2026 = 200002$
$4\cdot499994 + 2026 = 2002002$
$5\cdot818 + 2026 = 6116$
$5\cdot3553 + 2026 = 19791$
$5\cdot39593 + 2026 = 199991$
$5\cdot397793 + 2026 = 1990991$
$6\cdot161 + 2026 = 2992$
$6\cdot82628 + 2026 = 497794$
$6\cdot822228 + 2026 = 4935394$

[Gagarin1968]

gris в сообщении #1730151 писал(а):

$99899=10^5-201 $

gris
У Вас тут маленькая арифметическая ошибка.

[lel0lel]

Напишу набросок решения, до аккуратности можно довести позже. Пусть $n>10^4$. Предположим, что $n$ имеет вид $1(palindrome)1$, то есть начинается с единицы. В таком случае, в числе $2n+204$ последняя цифра $6$, и первая должна быть $6$, так как по условию $2n+204$ тоже палиндром. Но $\frac{6(palindrome)6}{1(palindrome)1}>3$, чего быть не может, так как $(2n+204)/n<3$ при $n>10^4$. Получили противоречие, поэтому число $n$ с единицы начинаться не может.
Теперь, если $n$ начинается с $2$, то, чтобы $2n+204$ было палиндромом, оно должно начинаться с восьмёрки. Опять слишком большое возрастание от умножения $n$ на $2$ и прибавления $204$.
Если для $n>10^4$ продолжать рассматривать первые цифры, то получим, что единственная подходящая первая цифра (она же последняя) -- это $9$. Первая и последняя цифры палиндрома $2n+204$ -- это двойки . Число $2n$ должно иметь вид $19...9000+x$, где $796<x<1000$. Можно заметить, что единственное подходящее $x$, при котором $(19...9000+x)/2>10^4$ и $19...9000+x+204$ являются палиндромами, это $x=798$; при этом количество девяток равно двум. Это даёт $n=(199000+798)/2=99899,$ оно же наибольшее (найдено выше).