Claude Fable 5 опровергла гипотезу Якобиана

[Verkhovtsev]

...для размерностей 3 и выше. Найденный контрпример хотел выписать здесь, но, оказывается, это уже сделали в Википедии, поэтому ограничусь ссылкой: "Проблема Якобиана" (статья в Википедии).

Медаль Филдса уже впору давать ИИ, а точнее, человеку, который сформулировал соответствующие запросы к ИИ. И разработчикам, конечно же. Тем более, в данном случае это один и тот же человек: Левант Алпёге. В воскресенье вечером, прямо во время финала чемпионата мира по футболу, он от балды решил испытать свое детище математической гипотезой столетней давности. Машинка выкатила контрпример, который любой человек, умеющий дифференцировать, легко может проверить за пару минут... И, собственно, таким образом столетняя гипотеза оказалась разрешена.

[LexaUmnik]

Сразу куча вопросов:
1) с размерностью 2 проблема так и открыта
2) есть ли другие опровергающие примеры размерности 3 отличные от найденого
3) есть ли примеры размерности больше 3 которые не являются тривиальным расширением данного примера
математикам есть чем заняться, если конечно им это будет интересно

Поздравлю сторонников использования ИИ в математике с очередной победой

[Anton_Peplov]

Verkhovtsev
Якобиан - это не имя, а термин. Пишется со строчной буквы.

LexaUmnik
В анализе не бывает так, чтобы контрпример к гипотезе был единственным (ну если не формулировать наглухо искусственные гипотезы вида "всякая функция отлична от $y = x^2$"). Нашли один контрпример - значит, есть и другие. Содержательной деятельностью может быть попытка сузить утверждение гипотезы так, чтобы оно стало верным.

[Klein]

В Твиттере опубликовали диалог Тао с ChatGPT о контрпримере к гипотезе якобиана. Использовались две системы на основе LLM, разработанные разными компаниями: Claude Fable 5 помогла Левенту Альпёге, математику и сотруднику Anthropic, найти контрпример, а ChatGPT позднее помог Тао проанализировать конструкцию и проверить вычисления.
https://chatgpt.com/share/6a5fdc7a-d6f8 ... al_links=1

[Verkhovtsev]

Klein, к сожалению, не могу подключиться к репозиторию ChatGPT по Вашей ссылке. Но вот прямая ссылка на блог Тао с релевантными обсуждениями. Теорема 3 оттуда дает геометрическое построение контрпримера в виде полиномиального отображения аффинного многообразия из $\mathbb{C}^5.$ Это чуть проясняет ситуацию, но, все равно, не объясняет всей магии контрпримера.

Anton_Peplov в сообщении #1729220 писал(а):

Якобиан - это не имя, а термин. Пишется со строчной буквы.

В данном случае это название гипотезы.

-- добавлено через 24 минуты --

LexaUmnik в сообщении #1729219 писал(а):

1) с размерностью 2 проблема так и открыта

Да, видимо. Я запрашивал у Claude контрпример к размерности 2, но он не нашел Впрочем, для размерности 2 утверждение доказано для многочленов степени $\le 150$ и, скорее всего, верно.

[dsge]

Verkhovtsev в сообщении #1729215 писал(а):

В воскресенье вечером, прямо во время финала чемпионата мира по футболу, он от балды решил испытать свое детище математической гипотезой столетней давности. Машинка выкатила контрпример, который любой человек, умеющий дифференцировать, легко может проверить за пару минут... И, собственно, таким образом столетняя гипотеза оказалась разрешена.

Ваша версия в своей фантастичности превосходит даже сомнительную оффициальную версию в социальной сети Х:

Цитата:

hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final
$((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x - 3 x^2 y - x^3 z): \C^3\to \C^3, has jacobian determinant -2, and sends (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), and (-1, 3/2, 13/2) to (-1/4, 0, 0)$

Дан только ответ, окончательная формула, выглядит как "по моему хотению по щучьему велению", а сам Емеля пошел смотреть фубол. Тао в отличие от Альпёге полностью приводит запросы-ответы в ChatGPT.

https://www.newscientist.com/article/2580374-ais-solution-to-87-year-old-riddle-takes-mathematicians-by-surprise/

Цитата:

Alpöge did not respond to New Scientist’s request for interview, but said in his tweet that part of the work was down to his “close friend fable”- seemingly referring to AI company Anthropic’s Claude Fable 5

Почему же Alpöge не пожелал дать интервью? Как бы мировая слава пришла. Дело в том, что Alpöge работает на Anthropic, где получает очень-очень хорошую зарплату. Но эта зарплата жестко обусловленна в трудовом контракте что можно и что нельзя делать публично, в частности давать интервью без разрешения, а пост в Х был скорее всего много раз отредактирован Anthropic. На личной странице Alpöge https://alpo.ge/ не найти каких-либо подробностей, вообще нет никакой информации про якобианы.
Alpöge - весьма квалифицированный математик. Очень вероятно, что the Jacobian conjecture он занимается уже не один месяц, хотя и с помощью Claude, но корпорации для пиара нужна другая версия.

Каждый раз много шума, когда LLM решает какую-нибудь проблему, но никто не знает сколько предложенных проблем не было решено LLM, сколько человеко-часов первоклассных математиков было потраченно впустую, не говоря уже о машинном времени и электроэнергии.

[dgwuqtj]

Verkhovtsev в сообщении #1729224 писал(а):

В данном случае это название гипотезы.

Термин это. Слова "якобиан", "гессиан", "грассманниан" в русском пишутся со строчной буквы, а в английском с прописной.

LexaUmnik в сообщении #1729219 писал(а):

2) есть ли другие опровергающие примеры размерности 3 отличные от найденого

Есть примеры с другой степенью расширения полей функций. Эта степень не может быть 1 или 2 (тогда гипотеза якобиана верна), тройка в оригинальном контрпримере, а по ссылке пишут про все степени от 3 до 100.

[Verkhovtsev]

dgwuqtj в сообщении #1729229 писал(а):

Слова "якобиан", "гессиан", "грассманниан" в русском пишутся со строчной буквы, а в английском с прописной.

Так вот в чем дело! К сожалению, не могу отредактировать название темы и сообщения

[mihaild]

dsge в сообщении #1729228 писал(а):

Но эта зарплата жестко обусловленна в трудовом контракте что можно и что нельзя делать публично, в частности давать интервью без разрешения, а пост в Х был скорее всего много раз отредактирован Anthropic

Это стандартная ситуация для больших корпораций. Не является свидетельством ни за, ни против.

dsge в сообщении #1729228 писал(а):

Тао в отличие от Альпёге полностью приводит запросы-ответы в ChatGPT

Если использовался не чат интерфейс, а claude ide или любая другая обвязка над агентами, то логи выложить не так просто.
Товарищ из OpenAI утверждает, что их модель с правильном обвязкой тоже нашла контрпример https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249 (и там есть описание от модели, "как она размышляла" - впрочем, ценности в этом описании мало, любая хорошая модель по контрпримеру сгенерирует правдоподобное описание процесса его нахождения).

dsge в сообщении #1729228 писал(а):

Каждый раз много шума, когда LLM решает какую-нибудь проблему, но никто не знает сколько предложенных проблем не было решено LLM, сколько человеко-часов первоклассных математиков было потраченно впустую, не говоря уже о машинном времени и электроэнергии

Вроде бы то же верно и для людей - я редко за пределами Пургатория/вихры вижу в статьях "я еще 5 лет думал над проблемами А,Б и В, но их решить не смог".