Не могу понять процедуру пополнения множества

[Andrew Bear]

Пытаюсь понять процедуру пополнения множества на примере перехода от рациональных к действительным числам. Процедура, как я понимаю такая:

Есть множество рациональных чисел. Оно бесконечно.

1) Вместо множества рациональных чисел рассматриваем множество всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
2)Определяем последовательности $x и $y которые сближаются в сколь угодно малую область p($x_n , $y_n) \to0 при n\to 0 как эквивалентные.
Получаем что множество последовательностей разобьётся на классы эквивалентных последовательностей.
3)Фактор-множество таких классов и будет пополнением.

Так у нас теперь не множество чисел, а фактор-множество классов чисел.
В пространстве классов эквивалентных последовательностей рациональных чисел нет, в нем содержится изометрический образ пространства рациональных чисел.
Куда делись числа?
Я полагал что в результате процедуры пополнения множестве рациональных чисел расшириться до множества вещественных чисел.
А то, что получилось я вообще не понимаю.

[mihaild]

Andrew Bear в сообщении #1728866 писал(а):

Куда делись числа?

Как правило различать изоморфные (относительно интересующих нас в данном случае структур) системы смысла нет. При большом желании можно взять первое попавшееся континуальное множество $X$, не пересекающееся с $\mathbb Q$ (обычными рациональными числами), взять первую попавшуюся биекцию $h: X \cup \mathbb Q \to \mathbb R$, переводящую $q$ в класс, которому принадлежит последовательность $(q, q, q, \ldots)$, определить операции на $X \cup \mathbb Q$ через $h^{-1}$, и назвать $X \cup \mathbb Q$ с этими операциями вещественными числами. Смысла в этом нет, зато у нас будут правда обычные рациональные числа (которые, например, классы эквивалентности пар целых чисел) будут подмножеством вещественных.

PS. У вас как-то странно набраны формулы. Не надо добавлять теги math руками, а надо просто окружать формулы долларами.

[bob.alice]

в пункте 1) фундаментальные последовательности рациональных чисел ( а не ИРрациональных — у Вас опечатка ). Легко проверить, что любое рациональное число также является пределом целого класса таких последовательностей. В качестве представителя можно взять бесконечную последовательность составленную из выбранного рационального числа...

[Andrew Bear]

Спасибо.
Извините, я только пытаюсь понять основы функционального анализа. Выходит туго, некоторые вещи непонятны совсем.

mihaild в сообщении #1728869 писал(а):

Andrew Bear в сообщении #1728866 писал(а):

Куда делись числа?

Как правило различать изоморфные (относительно интересующих нас в данном случае структур) системы смысла нет.

Т.е. нет разницы между множеством классов эквивалентности последовательностей рациональных чисел и множеством рациональными числами к которым они сходятся?

mihaild в сообщении #1728869 писал(а):

PS. У вас как-то странно набраны формулы. Не надо добавлять теги math руками, а надо просто окружать формулы долларами.

Почему-то y в тексте и y в параметре метрики выглядят по-разному хотя код для них в теге math один и тот же.

-- добавлено через 1 минуту --

bob.alice в сообщении #1728873 писал(а):

в пункте 1) фундаментальные последовательности рациональных чисел ( а не ИРрациональных — у Вас опечатка ). Легко проверить, что любое рациональное число также является пределом целого класса таких последовательностей. В качестве представителя можно взять бесконечную последовательность составленную из выбранного рационального числа...

Да спасибо. В предложении перед пунктом 1 тоже опечатался.
А ведь и правда. Стационарная последовательность фундаментальна и сходится.

[mihaild]

Andrew Bear в сообщении #1728874 писал(а):

Т.е. нет разницы между множеством классов эквивалентности последовательностей рациональных чисел и множеством рациональными числами к которым они сходятся?

Они изоморфны как упорядоченные топологические поля. Так что, хотя формально они и являются разными множествами, различать их на практике, как правило, смысла нет.
Примерно как нет смысла уточнять, состоит ли $\mathbb Z_k$ из натуральных чисел от $0$ до $k - 1$, или из множеств целых чисел.

Andrew Bear в сообщении #1728874 писал(а):

Почему-то y в тексте и y в параметре метрики

Где? Кто (какие метрики?).
Проблема в том, что в Вашем сообщении тег math и доллары идут вразнобой, движок от этого сходит с ума.

[Andrew Bear]

mihaild в сообщении #1728884 писал(а):

Andrew Bear в сообщении #1728874 писал(а):

Т.е. нет разницы между множеством классов эквивалентности последовательностей рациональных чисел и множеством рациональными числами к которым они сходятся?

Они изоморфны как упорядоченные топологические поля. Так что, хотя формально они и являются разными множествами, различать их на практике, как правило, смысла нет.
Примерно как нет смысла уточнять, состоит ли $\mathbb Z_k$ из натуральных чисел от $0$ до $k - 1$, или из множеств целых чисел.

Спасибо.

mihaild в сообщении #1728884 писал(а):

Andrew Bear в сообщении #1728874 писал(а):

Почему-то y в тексте и y в параметре метрики

Где? Кто (какие метрики?).
Проблема в том, что в Вашем сообщении тег math и доллары идут вразнобой, движок от этого сходит с ума.

Я имел ввиду расстояние, функция "ро". Я поставил 2 закрывающихся тэга math, а между ними текст не заключенный в тэги.Из-за этого разъехалось?

[Ende]

Andrew Bear
Ставить теги руками вообще не надо. Уберите все теги, оставьте доллары вокруг формул. Движок сам расставит теги правильно, если доллары будут на месте.